Potenzfunktionen und deren Eigenschaften

Potenzfunktionen und deren Eigenschaften

Bis jetzt haben wir Funktionen kennengelernt, bei denen die Variable x in der 2. Potenz steht. Deshalb nennt man solche Funktionen quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades. Die Variable x kann natürlich in jeder Potenzen auftreten. Diese Funktionen nennen wir deshalb Potenzfunktionen.

f_0345

Hier Beispiele zu Potenzfunktionen 1. bis 4. Grades mit den dazugehörenden Graphen:

Potenzfunktion 1. Grades (Gerade)

mc_050
Potenzfunktion 2. Grades (Parabel)

mc_051
Potenzfunktion 3. Grades

mc_052
Potenzfunktion 4. Grades

mc_053
Wie lautet die Funktionsgleichung?

mc_054
Wie lautet die Funktionsgleichung?

Beantworten Sie folgende Fragen:

a) Welche gemeinsamen Punkte haben die Graphen?
b) Welchen Einfluss hat der Grad n und das Vorzeichen von an auf den Verlauf des Graphen?
c) Welchen Einfluss hat der Grad n der Potenzfunktion auf die Symmetrie des Graphen?
d) Welche Wertemengen in Abhängigkeit von n und dem Vorzeichen von an haben Potenzfunktionen?
e) Welchen Einfluss hat der Betrag von an auf den Verlauf der Graphen?

Die Antworten finden Sie am Ende der Seite.




Symmetrie bei Potenzfunktionen

Wie lässt sich die Symmetrie beurteilen, wenn man nur die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion kennt?

Dazu zeichnen wir die Graphen folgender Funktionen:

f_0347

mc_055mc_056

Die Vermutung liegt nahe das folgendes gilt:

Für gerade Exponenten von x sind die Funktionswerte gleich.
Das nennt man Achsensymmetrie, also f(-x) = f(x)

Für ungerade Exponenten von x haben die Funktionswerte den gleichen Betrag aber entgegengesetztes Vorzeichen.
Das nennt man Punktsymmetrie, also f(-x) = – f(x)

Dieser Zusammenhang gilt für alle Potenzfunktionen (hier ohne Beweis).

f_0350

Zusammenfassung:

Für an > 0 gilt:
Alle Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch. Sie verlaufen vom II. in den I. Quadranten.
Alle Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch. Sie verlaufen vom III. in den I. Quadranten.
Für an < 0 gilt:
Alle Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch. Sie verlaufen vom III. in den IV. Quadranten.
Alle Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch. Sie verlaufen vom II. in den IV. Quadranten.

Antworten zu den Fragen:

zu a)  Alle Graphen verlaufen durch die Punkte ( 0 | 0 )

zu b)n gerade und an > 0: Der Graph verläuft vom II. zum I. Quadranten.
n gerade und an < 0: Der Graph verläuft vom III. zum IV. Quadranten.
n ungerade und an > 0: Der Graph verläuft vom III. zum I. Quadranten.
n ungerade und an < 0: Der Graph verläuft vom II. zum IV. Quadranten.

zu c) n gerade: Der Graph ist symmetrisch zur y- Achse (Achsensymmetrie)
n ungerade: Der Graph ist symmetrisch zum Koordinatenursprung (Punktsymmetrie)

zu d) n gerade und an > 0: f(x) ≥ 0 Es gibt nur positive Funktionswerte einschließlich der Null.
n gerade und an < 0: f (x) ≤ 0 Es gibt nur negative Funktionswerte einschließlich der Null.
n ungerade und an > 0: Wertemenge W = IR
n ungerade und an < 0: Wertemenge W = IR

zu e) Der Faktor an bestimmt die jeweilige Form des Graphen (gestreckt oder gestaucht), deshalb wird er auch Formfaktor genannt. Eine Vorzeichenänderung bewirkt die Spiegelung an der x – Achse.

Trainingsaufgaben:

Eigenschaften von Potenzfunktionen.
Bestimmen Sie den Grad folgender Potenzfunktionen, machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten, den Verlauf des Graphen und die Wertemenge. Zeichnen Sie die Graphen jeweils in ein Koordinatensystem.

1.01
2.02
3.03
4.04
5.05
6.06
7.07
8.08
9.09
10.10

Hier finden Sie die Lösungen

Plotter für ganzrationale Funktionen bis 9. Grades
Interaktiv: Geben Sie die Koeffizienten der Funktionsgleichung ein, danach zeichnet das Javascript den Graph der Funktion.

Weitere Aufgaben hierzu: Aufgaben Ganzrationale Funktionen I Eigenschaften von Potenzfunktionen

Diese und weitere Aufgaben sind in den Materialien enthalten, die Sie in unserem Shop erwerben können. Pakete mit vielen PDF-Datei ab 1 Euro und für Lehrer als WORD-Dateien, die beliebig geändert werden können.

Und hier eine Übersicht über weitere ganzrationale Funktionen.



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