Formfaktor, Verschiebungen und Scheitelpunkt

Einführung in quadratische Funktionen

Nachdem wir uns gründlich mit linearen Funktionen beschäftigt haben, führe ich in diesem Beitrag in quadratische Funktionen ein. Bevor es in die Theorie geht, stelle ich als erstes ein praktische Beispiel vor:

Beispiel:

Jeder, der sich auf die Führerscheinprüfung vorbereitet, sollte wissen, dass sich der Anhalteweg eines bremsenden Autos auf trockener asphaltierter Straße aus dem Reaktionsweg und dem Bremsweg zusammensetzt.
Nach folgenden Faustregeln lassen sich aus der Geschwindigkeit v in km/h der Reaktionsweg r und der Bremsweg b in Meter berechnen.

Achtung: Mitteilung der Rheinischen Post vom 3.3.04
Ab 1. Juli 2004 wird der Anhalteweg auf einer trockenen asphaltierten Straße mit einem anderen Bremsweg berechnet.
f_0190
Bemerkung zu den Einheiten der Faustformel:
Der Brems – bzw. Reaktionsweg kommt in Meter (m) heraus, wenn die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde (km/h) eingesetzt wird.

a) Bestimmen Sie für beide Fälle die Funktionsgleichung s = f(v), mit der für jede gefahrene Geschwindigkeit der Anhalteweg berechnet werden kann.

b) Stellen Sie für beide Fälle in einer Wertetabelle für folgende gefahrene Geschwindigkeiten v = 0, 10, 20, 30, … 100 km/h die jeweiligen Anhaltewege s zusammen.

c) Zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem.

d) Kommentieren Sie das Gesamtergebnis.

Problemlösung:

a) Die Funktionsgleichung
f_0191

b) Die Wertetabelle
f_0192

c) Die Graphen
mc_024
Die x – Achse stellt die jeweils gefahrene Geschwindigkeit in km/h da.
Die y – Achse stellt den jeweiligen Anhalteweg in m da.

d) Der Kommentar
Nach der neuen Verordnung wird der Unterschied mit zunehmender Geschwindigkeit immer größer. Bei 50 km/h beträgt der neue Anhalteweg 27,5 m, das sind etwa 69% des alten Weges von 40 m. Bei 100 km/h beträgt der neue Anhalteweg nur noch 80 m, das sind etwa 61% des alten Weges von 130 m. Die Verringerung des Bremsweges ist wegen der besseren Bremsen (ABS) sinnvoll.

Bei genauer Betrachtung der Funktionsgleichungen und der Graphen stellen wir fest, das es sich weder um lineare Funktionen, noch um Geraden handelt.

Die Funktionsgleichungen haben die Form:

f_0193

Da die Variable x hier in der 2. Potenz auftritt, nennt man solche Funktionen quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades.
Die Graphen werden Parabeln genannt.

Hierzu ein paar Traingsaufgaben 1 bis 10




Normalparabel, Formfaktor und Verschiebungen

Arbeitsauftrag:
f_0194

mc_025

Die Funktionsgleichungen der abgebildeten Parabeln unterscheiden sich nur durch den Koeffizienten a2 von x2.

f_0195

Dieser Koeffizient a2 ist für die Form der Parabel verantwortlich und heißt demnach Formfaktor.

Der Scheitelpunkt S hat dieKoordinaten S ( 0 | 0 ).

Wie beeinflusst der Formfaktor die Gestalt der Parabel?

f_0196



Parabelplotter: Interaktiv: Geben Sie Werte für die einzelnen Teile des Terms ein, wählen Sie Zoom, Gitterabstand und Zeichenfläche. Nachdem Sie auf ‚Zeichnen‘ geklickt haben, können Sie die Parbale bewundern.

Arbeitsauftrag:
f_0197

mc_026

Es handelt sich dabei um eine verschobene Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um a0 Einheiten verschoben wurde.

f_0198

Die Verschiebung erfolgt längs der Ordinatenachse, wobei die Richtung der Verschiebung durch das Vorzeichen von a0 bestimmt wird.

Der Scheitelpunkt S hat dieKoordinaten S ( 0 | a0 ).

Parabelplotter: Interaktiv: Auch hierfür können Sie sich die Parabel zeichnen lassen.

Arbeitsauftrag:
f_0199

mc_027

Es handelt sich um eine verschobene Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um u Einheiten auf der x -Achse verschoben wurde. Der Scheitelpunkt S hat die Koordinaten S ( -u | 0 )

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Arbeitsauftrag:
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mc_028

Der Graph von f2 (x) ist wieder eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um zwei Einheiten nach rechts und um drei Einheiten nach oben verschoben ist.
Der Graph von f3 (x) ist ebenfalls eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um eine Einheit nach links und um zwei Einheiten nach unten verschoben ist.

f_0202

nennt man Scheitelpunktform der quadratischen Funktion.
Der Graph der Funktion ist eine Normalparabel, die um den Wert u in Richtung der Abszissenachse und um a0 in Richtung der Ordinatenachse verschoben ist.

f_0203

Bisher haben wir nur die Normalparabel verschoben.
Die gleichen Verschiebungen lassen sich auch mit einer beliebigen Parabel durchführen.
Dabei ist dann der Formfaktor a2 zu berücksichtigen.

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Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung

Wir wissen bereits das gilt:
f_0205

Durch eine Termumformung der allgemeinen Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt einer Parabel ermitteln.

Beispiel:

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Beispiel:

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Beispiel:

f_0208

 

Parabelanalysator Interaktiv: Geben Sie die Koeffizienten ein, klicken Sie danach auf ‚Zeichnen‘ und ‚Berechnen‘.



Hierzu jetzt die Trainingsaufgaben 11 bis 20

Hier finden Sie die Aufgaben Grundladen Quadratische Funktionen I

und hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu Quadratischen Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.

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Im nächsten Beitrag beschäftigen wir uns näher mit Achsenschnittpunkten, der p-q-formel und- Lnearfaktoren.