Hier findest du die Lösungen der Aufgaben Ganzrationale Funktionen zur Symmetrie und Verlauf der Funktionen.
1.
Untersuche, ob f(x) eine ganzrationale Funktion ist! Gib gegenenfalls den Grad der Funktion und den Wert der Koeffizienten a0; a1; a2; … an!
Ergebnisse:
a) f(x) = 2 n = 0; a0 = 2
b) f(x) = 4x n = 1; a1 = 4
c) f(x) = 2x keine ganzrationale Funktion, sondern eine Exponentialfunktion
d) f(x) = \frac{x^3 - 4x}{8} =
\frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{2}x n = 3; a_3 = \frac{1}{8} a_1 = \frac{1}{2}
e) f(x) = \sqrt{3x^4} \quad n = 4; a_4 = \sqrt3
f) f{x} = \frac{1}{x} keine ganzrationale Funktion, sondern eine gebrochenrationale Funktion
g) f(x) = \sqrt{x}
Dies ist keine ganzrationale Funktion, weil es eine Wurzelfunktion ist.
h) f(x) = (x - \sqrt3)^2
= x^2 - 2 \cdot \sqrt3 x + 3 \\
n = 2; a_2 = 1; a_1 = - 2 \cdot \sqrt3; a_0 = 3
i) f(x) = (x + \sqrt2)(x -\sqrt2) = x^2 - 2
n = 2; a2 = 1; a0 = -2
j) f(x) = 16x 3 – 2x2 + 5x2 – 4 = 16x^3 + 3x^2 – 4
n = 3; a3 = 16; a2 = 3; a0 = -4
2.
Welche Graphen der folgenden ganzrationalen Funktionen sind achsen- bzw. punktsymmetrisch?
Ergebnisse
a) f(x) = x4 – 6x2 + 5 achsensymmetrisch, n gerade
b) f(x) = x3 + 3x + 1 keine Symmetrie
c) f(x) = (x – 2)(x + 2) = x2 – 4 achsensymmetrisch, n ist gerade
d) f(x) = x^6 - 6x^2 + \sqrt3 achsensymmetrisch, n ist gerade
e) f(x) = (x – 2)3 (x – 1) = x4 – 7x3 + 18x2 – 20x + 8 keine Symmetrie
f) f(x) = x^4 - \sqrt{5x^2} achsensymmetrisch, n ist gerade
g) f(x) = (2x4 + 2x2 + 5) x = 2x5 + 2x3 + 5x punktsymmetrisch, n ist ungerade
h) f(x) = (x2 – 2x + 3)(x + 1)(x – 1) = x4 – 2x3 + 2x2 + 2x – 3 keine Symmetrie
i) f(x) = 1 – 3x2 + x6 = x6 – 3x2 + 1 achsensymmetrisch, n ist gerade
3.
Bestimme die Variable c so, dass der Graph der Funktion punkt- bzw. achsensymmetrisch ist!
Ergebnisse:
a) f(x) = x3 + 4x + c c = 0 für Punktsymmetrie
b) f(x) = (x – c)(x + 4) = x2 + 4x – cx + 4c c= 4 für Achsensymmetrie
c) f(x) = x5 + xc c ungerade für Punktsymmetrie
d) f(x) = x3(x2 – cx) c = 0 für Punktsymmetrie
e) f(x) = c + x3 c = 0 für Punktsymmetrie
f) f(x) = 4x3 + x2 + cx2 + 5x c = -1 für Punktsymmetrie
4.
Gib den Verlauf der Graphen folgender Funktionen an!
Ergebnisse:
a) f(x) = 2x5 – 6x3 von III nach I
b) f(x) = -4x4 + 3 von III nach IV
c) f(x) = 2x – 5 von III nach I
d) f(x) = -2x2 von III nach IV
e) f(x) = 4x4 – 3x2 + 4x – 5 von II nach I
f) f(x) = 6x + 3 von II nach IV
g) f(x) = 4x4 + 3x3 – 6x5 von II nach IV
h) f(x) = -2x5 + 6x3 von II nach IV
5.
Gib den Verlauf und die Symmetrie der Graphen folgender Funktionen an!
Ergebnisse:
a) f(x) = \sqrt3x^2 - \sqrt5x^4 - 2
= - \sqrt5x^4 + \sqrt3x^2 - 2 Achsensymmetrie, von III nach IV
b) f(x) = x(x + \frac{1}{2})(8 - \frac{1}{2}x)
= -\frac{1}{2}x^3 + \frac{31}{4}x^2 + 4x keine Symmetrie, von II nach IV
c) f(x) = 5x6 – 4x4 + 5 Achsensymmetrie, von II nach I
d) f(x) = x5 + x3 – 2x Punktsymmetrie, von III nach I
e) e) f(x) = 5 Achsensymmetrie, von II nach I
f) f(x) = (x2 – 25)(x2 + 6x + 9) = x4 + 6x3 – 16x2 – 150x = 225 keine Symmetrie, von II nach I
g) f(x) = x5 + 4x4 + 4x3 keine Symmetrie, von III nach I
h) f(x) = (4x2 – 4)(x3 + 8x2 + 16x)(x3 + 27)
= 4x8 + 32x7 + 60x6 + 76x5 + 800x4 + 1620x3 – 864x2 – 1728x keine Symmetrie, von II nach I
i) f(x) = -3 Achsensymmetrie, von III nach IV
j) f(x) = -x5 + x3 – 2 keine Symmetrie, von II nach IV
6.
Berechne die Nullstellen folgender Funktionen!
Ergebnisse:
a) f(x) = (x – 4)(x – 2)(x + 1) ⇒ Px1(4|0); Px2(2|0); Px3(-1|0)
b) f(x) = (x – 4)(-x + 2) ⇒ Px1(4|0); Px2(2|0)
c) f(x) = x(x + 5)2 = x(x + 5)(x + 5) ⇒ Px1(0|0); Px2/3(-5|0)
d) f(x) = 3(x – 4)3(x + 2) = (x – 4)(x – 4)(x – 4)(x + 2) ⇒ Px1/2/3(4|0); Px4(-2|0)
e) f(x) = (2x – 4)(x + 3)3 ⇒ Px1(2|0); Px2(-3|0); Px3/4/5(0|0)
f)
Hier findest du die Aufgaben
und hier die Theorie hierz: Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen
Hier findest eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.
