Einführung in Exponentialgleichungen

Definition:

Gleichungen, bei denen die Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz auftritt, werden Exponentialgleichungen genannt.

Beispiele

In vielen Fällen sind Exponentialgleichungen nur mit Näherungsverfahren, die hier nicht behandelt werden sollen, lösbar. Exponentialgleichungen, die im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen auftreten, sind oft durch geeignete Umformungen und durch Anwendung der Potenz– und Logarithmengesetze lösbar.

Im Folgenden sollen die wichtigsten Lösungsmöglichkeiten dargestellt werden. Da in Naturwissenschaft und Technik der Basis e in Bezug auf Wachstumsprozesse eine besondere Bedeutung zukommt, sollen hier nur Exponentialgleichungen zur Basis e betrachtet werden.

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Lösungsmethoden für Exponentialgleichungen

Lösung mittels Exponentenvergleich

Eine Lösung mittels Exponentenvergleich ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben. Das ist leider jedoch nicht immer möglich, wie folgendes Beispiel zeigen soll.

Lösung mittels Logarithmieren

In vielen Fällen führt der Ansatz über das Logarithmieren zum Erfolg. Jedoch Exponentialgleichungen, in denen Summen oder Differenzen vorkommen, können nicht logarithmiert werden. Man kann versuchen, sie mittels Substitution (Einsetzung einer Ersatzvariablen) zu lösen.

Lösung mittels Substitution

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Ausführliche Lösungsbeispiele

Beispiel

Beispiel

Beispiel

Beispiel

Beispiel

Eine große Hilfe bieten die Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen

Aufgaben hierzu Exponentialgleichungen I einfache Exponentialgleichungen

und Aufgaben Exponentialgleichungen II mit e-hoch-x

und Aufgaben Exponentialgleichungen III mit gebrochenem Exponenten

und Aufgaben Exponentialgleichungen IV mit e-Funktionen

und Aufgaben Exponentialgleichungen V mit e-Funktionen und Brüchen

und Aufgaben: Exponentialgleichungen VI mit Parametern

und Aufgaben Exponentialgleichungen VII mit Sachaufgaben

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