Exponentialgleichungen lösen mit e

In diesem Beitrag gebe ich eine Einführung in Exponentialgleichungen. Zuerst definiere ich den Begriff Exponentialgleichung und stelle Beispiele vor. Danach zeige ich Lösungsmethoden für Exponentialgleichungen: Lösung mittels Exponentenvergleich, Logarithmieren, Substitution. Schließlich stelle ich für alle Möglichkeiten Ausführliche Lösungsbeispiele vor.

Definition Exponentialgleichung:

Gleichungen, bei denen die Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz auftritt, werden Exponentialgleichungen genannt.

Beispiele

In vielen Fällen sind Exponentialgleichungen nur mit Näherungsverfahren lösbar. Diese werden hier jedoch nicht behandelt. Exponentialgleichungen, die im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen auftreten, sind oft durch geeignete Umformungen und durch Anwendung der Potenz– und Logarithmengesetze lösbar.

Im Folgenden stelle ich die wichtigsten Lösungsmöglichkeiten dar. In Naturwissenschaft und Technik kommt der Basis e in Bezug auf Wachstumsprozesse eine besondere Bedeutung zu, deshalb betrachte ich hier nur Exponentialgleichungen zur Basis e.

Lösungsmethoden für Exponentialgleichungen

Lösung mittels Exponentenvergleich

f_1569

Eine Lösung mittels Exponentenvergleich ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben. Das ist leider jedoch nicht immer möglich.

Lösung mittels Logarithmieren

f_1570

In vielen Fällen führt der Ansatz über das Logarithmieren zum Erfolg. Exponentialgleichungen jedoch, in denen Summen oder Differenzen vorkommen, können nicht logarithmiert werden. Man kann aber versuchen, sie mittels Substitution (Einsetzung einer Ersatzvariablen) zu lösen.