Nachdem wir im letzten Beitrag die Exponentialfunktionen und die e-Funktion kennengelernt haben, stelle ich hier einige Anwendungsbereiche aus dem Alltag vor. Zuerst zeige ich, wie man die Funktionsgleichung aufstellt. Danach stelle ich Beispiele vor: exponentielles Wachstum von Bakterien, exponentielle Abnahme beim radioaktiven Verfall. Außerdem erkläre ich wie die Zahl e, der natürliche Logarithmus und die e-Funktion zusammen gehören.
- Aufstellen der Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion
- Übungsaufgabe mit Lösung
- Definition Exponentialfunktion
- spezielle Beispiele zur e-Funktion
Exponentielles Wachstum von Bakterien - Exponentielle Abnahme beim radioaktiven Verfall.
- Die Zahl e, der natürliche Logarithmus und die e-Funktion
- Links zu Aufgaben
Aufstellen der Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion
Ein gutes Beispiel für die Anwendung einer Exponentialfunktion ist die Vermehrung von Bakterien. Z. B. verrichten Coli-Bakterien ihre Arbeit im menschlichen Darm. Dabei vermehren sie sich durch Zellteilung. Unter günstigen Bedingungen teilen sie sich alle 20 Minuten.
Für diesen Vorgang stellen wir also eine Wertetabelle auf und zeichnen den Graphen. Dabei steht die Variable x für die Zeit in Minuten. Und die Variable y gibt die Anzahl der Bakterien an.
Nun besteht die Aufgabe darin, den funktionalen Zusammenhang in Form einer Funktionsgleichung f(x) zu bestimmen.
Alle 20 Minuten verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Wir müssen also die vorhandene Anzahl nach jeweils 20 Minuten mit 2 multiplizieren.
Der Ansatz dabei ist f(x) = 2x
Dabei ist f(x) die Anzahl der Bakterien und x die Zahl der Minuten. Bei dieser Funktionsgleichung würde sich die Bakterienzahl jede Minute verdoppeln. Sie verdoppeln sich jedoch nur alle 20 Minuten. Deshalb dividieren wir die 1 durch 20. Dann sieht unsere Funktionsgleichung so aus:
Wir sehen also: Vermehrungen werden als exponentielles Wachstum bezeichnet. Eine Funktion, die solch einen Vorgang beschreibt, nennt man Exponentialfunktion. Dies ist also eine Anwendungen für die Exponentialfunktion.
Dazu gibt es auch einen Artikel in Wikipedia.
Übungsaufgabe zur Anwendung einer Exponentialfunktion
Wie müsste die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion unter folgenden Bedingungen aussehen:
a) Alle 15 min verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien.
b) Alle 30 min verdreifacht sich die Anzahl der Bakterien.
c) Wir beginnen mit der Beobachtung, wenn schon n0 = 1000 000 000 Bakterien vorhanden sind und die Anzahl sich alle 45 min verfünffacht.
d) Bei Beobachtungsbeginn sind n0 = 100 000 Bakterien vorhanden und alle 45 min nimmt die Anzahl der Bakterien um den Faktor e = 2,718 zu.
e) Alle 10 min. halbiert sich die Anzahl n0.
Lösung:
a)
b)
c)
d)
e) 
Definition Exponentialfunktion:
Funktionen, die Wachstumsprozesse beschreiben, heißen Exponentialfunktionen. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:
Exponentielles Wachstum oder exponentielle Abnahme kann man in vielen Lebensbereichen beobachten:
- Zum Beispiel in der Biologie (Zunahme und Abnahme von Bakterien)
- oder in der Ökologie (Populationen von Tieren),
- und in der Wirtschaftslehre (Kapitalzuwachs durch Zinseszinz),
- auch bei physikalisch-technischen Problemen (Zerfall radioaktiver Substanzen),
- und in der Medizin (Wirkung von Medikamenten).
Dies alles sind Anwendungen der Exponentialfunktion.
Spezielle Beispiele zur e-Funktion
Exponentielles Wachstum von Bakterien
Der Bestand von Bakterien vermehrt sich nach einer e-Funktion.
Auf welchen Wert wächst der Bestand von n0 = 2000 Bakterien in 4 Stunden?
Und nach wie viel Stunden sind es 10 000 Bakterien?
Wie sieht der Funktionsgraph aus?
Zur Wiederholung empfehle ich diese Beiträge:
Logarithmengesetze und Exponentialgleichungen
Exponentielle Abnahme: radioaktiver Verfall
In einigen Bereichen messen wir jedoch kein exponentielles Wachstum, sondern eine exponentielle Abnahmen. Hier einige Beispiele dafür:
- Radioaktive Stoffe zerfallen in gleichen Zeitspannen jeweils mit demselben Faktor. Ihre Halbwertszeit gibt dann an, nach welcher Zeit nur noch die Hälfte der ursprünglichen Aktivität vorhanden ist. Die Aktivität A(x) wird gemessen in Megabecquerel ( 1 MBq = 106 Zerfälle pro Sekunde).
- Für medizinische Untersuchungen wird Jod 131 mit einer Halbwertszeit ( th ) von 8 Tagen verwendet. Dabei werden dem Patienten A0 = 4000 MBq verabreicht.
Daraus ergeben sich folgende Fragestellungen:
Nach wie viel Halbwertzeiten bzw. Tagen beträgt die Restaktivität im Körper höchstens noch 400 MBq?
Zeichne den Graphen, lies die ungefähre Zeit ab und berechne den genauen Wert!
Also beträgt nach etwa 27 Tagen, etwas mehr als nach 3 Halbwertszeiten, die Restaktivität im Körper noch etwa 400 MBq. Dies ist also ebenfalls eine Anwendung der Exponentialfunktion.
Die Zahl e, der natürliche Logarithmus und die e-Funktion
Im letzten Beitrag hatte ich ausführlich die Zahl e vorgestellt. Hier noch einmal das Wesentliche:
- Die Graphen verlaufen von II nach I
- Ist der Exponent positiv, so ist der Graph monoton steigend.
- Ist der Exponent negativ, so ist der Graph monoton fallend.
- Es gibt keine Nullstellen.
- Für große x-Beträge nähert sich der Graph immer mehr der x – Achse.
- Alle Graphen verlaufen durch den Punkt P ( 0 | 1 ).
Jede Exponentialfunktion kann durch die e-Funktion beschrieben werden.
Aus diesem Grund wird in den folgenden Kapiteln als Exponentialfunktion nur noch die e-Funktion betrachtet.
Dazu findest du hier eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Differential- und Integralrechnung, darin auch Links zu Aufgaben.
