Kategorien
Aufgabensammlung Exponentialfunktionen Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Lösungen Aufgaben Exponentialfunktionen, e-Funktion

Lösungen der Trainingsaufgaben zu Graphen von Exponentialfunktionen und e-Funktion mit komplettem Lösungsweg Ermitteln Sie jeweils die Verschiebungen, Spiegelung und Formänderung der Grundfunktion ex. Zeichnen Sie den Funktionsgraphen und die Grundfunktion ex in ein geeignetes Koordinatensystem und berechnen Sie den Schnittpunkt mit der y- Achse. Lesen Sie Grenzwerte und falls vorhanden Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte am […]

Kategorien
Aufgabensammlung Exponentialfunktionen Gleichungen Mathematik

Trainingsaufgaben Exponentialfunktionen, e-Funktion

Trainingsaufgaben zu Graphen von Exponentialfunktionen und e-Funktion Ermitteln Sie Verschiebungen, Spiegelung und Formänderung der Grundfunktion ex. Zeichnen Sie jeden Funktionsgraphen und die Grundfunktion ex in ein geeignetes Koordinatensystem und berechnen Sie den Schnittpunkt mit der y- Achse. Lesen Sie an dem Graphen ab: Grenzwerte und falls vorhanden Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte. Bemerkung: Berücksichtigen Sie nur […]

Kategorien
Exponentialfunktionen Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Wurzelgleichungen und Exponentialgleichungen

Wurzelgleichungen und Exponentialgleichungen In diesem Beitrag zeige ich zuerst anhand eines Beispiels, wie man Wurzelgleichungen löst und die Lösungsmenge bestimmt. Dabei weise ich darauf hin, welche Probleme sich ergeben können. Danach zeige ich die Lösung von Exponentialgleichungen. Wurzelgleichungen lösen Beispiel Gleichungen, in denen Wurzelterme vorkommen, nennt man Wurzelgleichungen. Im folgenden Beispiel erkläre ich das Lösungsverfahren. […]

Kategorien
Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Lineare Gleichungssysteme 2 Gleichungen 2 Variablen

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen In diesem Beitrag stelle verschiedene Lösungsverfahren für Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen vor. Zuerst die Lösungsschritte für das Additionsverfahren in 2 Varianten. Danach für das Gleichsetzverfahren in 2 Varianten. Anschließend für das Einsetzverfahren in 2 Varianten und schließlich das Zeichnerisches Verfahren. Danach stelle ich […]

Kategorien
Ganzrationale Funktionen Gleichungen Mathematik

Einführung in die Polynomdivision

Einführung in die Polynomdivision In diesem Beitrag vergleiche ich die Polynomdivision zuerst mit dem schriftlichen Dividieren. Anschließend ich anhand einiger Beispiele wie man die Polynomdivision durchführt. Danach stelle ich das Horner-Schema vor. Die Polynomdivision funktioniert ähnlich wie das schriftliche Dividieren. Zuerst zeige ich das Prinzip anhand eines Beispiel schriftliches Dividieren: Als erstes dividiert man die […]

Kategorien
Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Polynomgleichungen einfach erklärt

Polynomgleichungen einfach erklärt In diesem Beitrag werde ich zuerst einfach erklären, was eine Polynomgleichung ist. Um sie zu lösen, bringt man sie zuerst in die Nullform, auch Normalform genannt. Danach stelle ich anhand anschaulicher Beispiele die 5 Varianten vor: Polynomgleichung mit nur einer einzige Potenz der Variablen x, Polynomgleichung stellt eine quadratische Gleichung, biquadratische Gleichung, […]

Kategorien
Aufgabensammlung Bruchrechnen Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Aufgaben Lineare Gleichungen, Brüche, Klammern

Aufgaben zu Lineare Gleichungen II mit Brüchen und Klammern Tipps: Wie gehe ich vor bei Bruchgleichungen? Eine Bruchgleichung muss zuerst auf den Hauptnenner gebracht werden. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der vorhandenen Nenner. Die Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner bewirkt, das die Brüche verschwinden. Nun ist die Gleichung einfach lösbar. […]

Kategorien
Aufgabensammlung Bruchrechnen Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Lösungen Lineare Gleichungen Brüche, Klammern

Lösungen der Aufgaben zu Lineare Gleichungen II mit Brüchen und Klammern mit komplettem Lösungsweg Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge! 1a) 1b) 1c) 1d)   2a) 2b) 2c) 2d)   3a) 3b) 3c)   4a) 4b) 4c) 4d)   5a) 5b) 5c) 5d) 5e)   6a) 6b)   7a) 7b) 7c) 7d) Hier finden Sie die […]

Kategorien
Bruchrechnen Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Bruchgleichungen lösen

Lösen von Bruchgleichungen Bevor man Bruchgleichungen löst, muss man immer erst die Definitionsmenge bestimmen. Anschließend werde ich den Trick mit der Kehrwertbildung und mit der Multiplikation über Kreuz vorstellen. Schließlich werde ich einen simplen Beweis für die Gültigkeit der Kehrwertbildung zeigen. Definitionsmenge Die Grundmenge ist, falls nichts anderes angegeben wird, IR. Die Definitionsmenge enthält also […]

Kategorien
Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Quadratische Gleichungen und p-q-Formel

Einführung in Quadratische Gleichungen und p-q-Formel Bis jetzt haben wir uns mit Gleichungen beschäftigt, bei denen die Variable x nur in der 1. Potenz steht, also lineare Gleichungen. In diesem Beitrag gebe ich eine Einführung in das Lösen quadratischer Gleichungen, also in denen x potenziert wird, siehe Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze. Dazu werde ich zuerst […]

Kategorien
Aufgabensammlung Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Trainingsaufgaben zu quadratischen Gleichungen

Trainingsaufgaben zu quadratischen Gleichungen Vorab zur Hilfe Beispiele für die verschienen Möglichkeiten, eine quadratische Gleichung zu lösen: 1.Lösung der quadratischen Gleichung durch einfaches Wurzelziehen. 2. Lösung der quadratischen Gleichung durch Ausklammern der Variablen x und Anwendung des Satzs vom Nullprodukt. 3. Lösung der quadratischen Gleichung durch Anwendung der p- q- Formel. 4. Lösung der quadratischen […]

Kategorien
Aufgabensammlung Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Lösungen Aufgaben quadratischen Gleichungen

Lösungen der Trainingsaufgaben zu quadratischen Gleichungen mit komplettem Lösungsweg Lösen Sie die quadratische Gleichung. Benutzen Sie dazu das jeweils bestgeeignete Verfahren und machen Sie die Probe durch Einsetzen. 1. Lösung der quadratischen Gleichung durch einfaches Wurzelziehen. 2. Lösung der quadratischen Gleichung durch Ausklammern der Variablen x und Anwendung des Satzs vom Nullprodukt. Satz vom Nullprodukt: […]

Kategorien
Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Gleichungen und Ungleichungen als Aussageform

Gleichungen und Ungleichungen als Aussageform In diesem Beitrag werde ich zuerst erklären, dass Zahlengleichungen und Ungleichungen Aussagen sind. Danach werde ich die Begriffe Lösungsmenge, Erfüllungsmenge, Grundmenge, Definitionsmenge, Äquivalenzumformung definieren. Schließlich werde ich dies alles anhand anschaulicher Beispiele erläutern. Zahlengleichungen- oder Ungleichungen mit Zahlen sind Aussagen. Bestimmungsgleichungen- oder Ungleichungen sind Aussageformen. Gleichungen und Ungleichungen bestehen aus zwei […]

Kategorien
Aufgabensammlung Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Lösungen zu den Aufgaben zu linearen Gleichungen I

Lösungen zu den Aufgaben zu linearen Gleichungen I mit komplettem Lösungsweg Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge. 1a) 1b) 1c) 1d)   2a) 2b) 2c) 2d)   3a) 3b) 3c) 3d) 4a) 4b) 4c) 4d)   5a) 5b) 5c) 5d)   6a) 6b) 6c)   7a) 7b) 8a) 8b)   9a) 9b) 9c) 9d)   10a) […]

Kategorien
Aufgabensammlung Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Aufgaben zu lineare Gleichungen I

Aufgaben zu lineare Gleichungen I Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge. 1a) 1b) 1c) 1d) 2a) 2b) 2c) 2d) 3a) 3b) 3c) 3d) 4a) 4b) 4c) 4d) 5a) 5b) 5c) 5d) 6a) 6b) 6c) 7a) 7b) 8a) 8b) 9a) 9b) 9c) 9d) 10a) 10b) 10c) 10d) 11a) 11b) 11c) 12a) 12b) 12c) 12d) Hier finden Sie […]

Kategorien
Aufgabensammlung Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Lineare Gleichungen zu Sachaufgaben

Lineare Gleichungen zu Sachaufgaben In diesem Beitrag werde ich zuerst erklären, was Sachaufgaben in der Mathematik sind. Danach werde ich die Schritte aufzählen, die man bei der Lösung von Sachaufgaben durchführen sollte. Anschließend werde ich viele Beispiele für lineare Gleichungen zu Sachaufgaben vorstellen. Was sind Sachaufgaben? Viele Problemstellungen aus dem täglichen Leben sowie aus der […]

Kategorien
Gleichungen Mathematik Mathematische Grundlagen

Einführung in lineare Gleichungen

Einführung in lineare Gleichungen In diesem Beitrag werde ich zuerst einige Beispiele linearer Gleichungen mit der Lösungsvariablen x vorstellen und alle Möglichkeiten für lineare Gleichungen aufzählen. Danach werde ich Beispiele für lineare Gleichung, bei der die Variable x auf beiden Seiten vorkommt und viele andere Varianten vorstellen. In dem Beitrag Terme und binomische Formeln haben wir […]