Hier findest du alle Beiträge zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung. Von einfachen Erklärungen, über Aufgaben bis hin zu ausführlichen Lösungen findest du hier alles, was du über Wahrscheinlichkeitsrechnung wissen musst.
Wenn ihr viele Aufgaben mit den Lösungen zu mehrstufigen Zufallsversuchen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung übt, werdet ihr gut in Mathe! Deshalb stelle ich hier noch weitere Aufgaben zur Verfügung. 1. In einem Gefäß sind 50 gleichartige Kugeln, davon 20 rote und 30 blaue. Es werden 3 Kugeln gezogen mit Zurücklegen. Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis? a) …
Hier stelle ich Aufgaben mit mehrstufigen Zufallsversuchen zur Verfügung. Zuerst kommen drei Aufgaben, die einfach in ein Urnenmodell umgewandelt werden können. Außerdem geht es um das Baumdiagramm. Danach folgen Textaufgaben. Deshalb gebe ich Tipps zum Lösen der Aufgaben mit mehrstufigen Zufallsversuchen. 1. Wir werfen eine Münze zweimal. Zeichne das Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zu mehrstufigen Zufallsversuchen I. Unter anderem geht es um ein Baumdiagramm für das Werfen von Münzen. Bei den Aufgaben habe ich Tipps zum Lösen von Aufgaben von mehrstufigen Zufallsversuchen gegeben. 1. Aufgabe Eine Münze wird zweimal geworfen. Zeichne das Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: …
Wenn ihr viele Aufgaben zur relativen Häufigkeit in der Wahrscheinlichkeitsrechnung übt, werdet ihr gut in Mathe! Deshalb stelle ich hier noch weitere Aufgaben zur Verfügung. 1. Über die Zusammensetzung der Schülerschaft eines Gymnasiums ist bekannt: In der Sek. I befinden sich 340 Jungen und 320 Mädchen. In der Sek. II befinden sich 150 Jungen und …
Wenn ihr viele Aufgaben mit den Lösungen zur relativen Häufigkeit in der Wahrscheinlichkeitsrechnung übt, werdet ihr gut in Mathe! Deshalb stelle ich hier auch den kompletten Lösungsweg zur Verfügung. 1. Über die Zusammensetzung der Schülerschaft eines Gymnasiums ist bekannt: In der Sek. I befinden sich 340 Jungen und 320 Mädchen. In der Sek. II befinden …
Hier findest du die Aufgaben zur relativen Häufigkeit. 1. Abiturarbeit In der schriftlichen Abiturarbeit im Fach Biologie gab es folgende Noten: 3; 4; 3; 2; 3; 1; 5; 5; 4; 3; 3; 2; 1; 4; 2; 5; 4; 2; 4; 3 a) Erstelle eine Häufigkeitstabelle und berechne die relativen Häufigkeiten. b) Stelle die Verteilung in …
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zur relativen Häufigkeit. 1. In der schriftlichen Abiturarbeit im Fach Biologie gab es folgende Noten: 3; 4; 3; 2; 3; 1; 5; 5; 4; 3; 3; 2; 1; 4; 2; 5; 4; 2; 4; 3 a) Erstelle eine Häufigkeitstabelle und berechne die relativen Häufigkeiten. b) Stelle die …
Hier findest du weitere Aufgaben zu Verknüpfungen von Ereignissen. Diesmal geht es auch um Gegenereignisse. 1. Würfel Ein Würfel wird einmal geworfen. Folgende Ereignisse werden definiert: A: Die geworfene Zahl ist kleiner als 4. B: Die geworfene Zahl ist ungerade. Bestimme folgende Ereignisse in aufzählender Form: a) b) …
Aufgaben zu Ereignissen und Verknüpfungen von Ereignissen II Weiterlesen »
Hier findest du die Lösungen zu weiteren Aufgaben zu Verknüpfungen von Ereignissen. Diesmal geht es auch um Gegenereignisse. 1. Aufgabe Ein Würfel wird einmal geworfen. Folgende Ereignisse werden definiert: A: Die geworfene Zahl ist kleiner als 4. B: Die geworfene Zahl ist ungerade. Bestimme folgende Ereignisse in aufzählender Form: a) A ∪ B …
Hier findest du die Aufgaben zu Verknüpfungen von Ereignissen. 1. Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib folgende Ereignisse in aufzählender Schreibweise an. a) A: Augenzahl ist größer als 3 b) B: Augenzahl ist gerade c) C: Das Gegenereignis von B d) D: keine 4 2. Ein Würfel wird zweimal nacheinander geworfen. Stelle folgende Ereignisse in …
Aufgaben zu Ereignissen und Verknüpfungen von Ereignissen I Weiterlesen »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Verknüpfungen von Ereignissen. 1. Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib folgende Ereignisse in aufzählender Schreibweise an. a) A: Augenzahl ist größer als 3 b) B: Augenzahl ist gerade c) C: Das Gegenereignis von B d) D: keine 4 1. Ausführliche Lösung: Ergebnismenge: S = {1; 2; 3; …
Lösungen zu Ereignissen und Verknüpfungen von Ereignissen I Weiterlesen »
Hier stelle ich Aufgaben zu Zufallsexperimenten zur Verfügung. 1. Was verstehest du unter einem Zufallsexperiment? Nennen Sie die wichtigsten Eigenschaften. 2. Gib vier Zufallsexperimente mit ihrer jeweiligen Ergebnismenge an. 3. In einer Obstkiste befinden sich 10 rote Tomaten und 20 gelbe Tomaten gleicher Größe und gleicher Form. Aus der Kiste werden blind nacheinander drei Tomaten …
Aufgaben zu Zufallsexperimenten, Baumdiagramm, Ergebnismenge I Weiterlesen »
Hier sind die Lösungen der Aufgaben zu Zufallsexperiment I. 1. Was verstehest du unter einem Zufallsexperiment? Nenne die wichtigsten Eigenschaften Ausführliche Lösung: Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit folgenden Eigenschaften: – Unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar. – Es gibt mindestens zwei mögliche Ergebnisse. – Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar. 2. Gib vier Zufallsexperimente mit …
Die hier dargestellten Lösungen der Hypothesentests mit dem Casio fx-CG50 sind Teilberechnungen, aus bestehenden Hypothesentestaufgaben, auf die an entsprechender Stelle verlinkt wird. Die Rechnungen wurden mit dem GTR Casio fx-CG20 durchgeführt. Abweichungen in den Ergebnissen sind darauf zurückzuführen, dass die Originalaufgaben mit Tabellenwerten entsprechender Binomialverteilungen, bzw. mit Näherungswerten der Normalverteilung berechnet wurden. Eine Einführung in …
In diesem Beitrag werde ich den Hypothesentest anhand von Beispielen mit Würfeln einfach erklären. Zwischendurch erläutere ich einiges zur Nullhypothese. Außerdem mache ich Bemerkungen zur Vorgehensweise bei Würfelexperimenten. Anhand mehrerer Beispiele zeige ich die Berechnung, die Auswertung und zeige die graphische Darstellung. Dann erkläre die Fehler 1. und 2. Art. Außerdem stelle ich die Änderung des …
In diesem Beitrag stelle ich die Grundlagen des Hypothesentests vor. Als Erstes definiere ich die Nullhypothese und die alternative Hypothese. Danach stelle ich die Reihenfolge beim Testen von Hypothesen vor. Anschließend zähle ich die Regeln zum Aufstellen der Hypothese auf. Als Nächstes zeige ich die beiden Möglichkeiten der Nullhypothese und die alternative Hypothese anhand mehrerer …
Für die Berechnung von Umgebungswahrscheinlichkeiten habe ich im letzten Beitrag die Tabelle normalverteilter Zufallsvariablen vorgestellt. Hier werde ich anhand einiger Beispiele den Umgang damit erklären. Dabei geht es um Intervalle symmetrisch zum Erwartungswert, Prozent-Umgebung vom Erwartungswert, Intervalle außerhalb von Umgebungen und asymmetrische Umgebungen. Bitte beachte, dass die zu dem Wert z gehörige Umgebung immer symmetrisch zum …
Als erstes stelle ich hier die Approximation der Binomialverteilung vor. Anschließend zeige ich einige Beispiele für die Gaußsche Normalverteilung. Danach stelle ich eine Tabelle der Wahrscheinlichkeiten für Sigma-Umgebungen normalverteilter Zufallsvariablen zur Verfügung. Anschließend werde ich den Umgang der Tabelle erklären. Am Ende findest du einen Rechenhelfer für die Binomialverteilung und den Link zu Aufgaben in …
Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Weiterlesen »
In diesem Beitrag beschäftige ich mich mit den Umgebungswahrscheinlichkeiten in Binomialverteilungen. Dazu stelle ich mehrere Beispiele vor. Danach erläutere ich die Wahrscheinlichkeit der einfachen, doppelten und dreifachen Sigma-Umgebung. Schließlich zeige ich, was passiert, wenn ich der Umgebung des Erwartungswerts einen Radius zuordne. Erwartungswert Bei einer Binomialverteilung ist der Erwartungswert der mit der größten Wahrscheinlichkeit. In …
In diesem Beitrag erkläre ich die Begriffe Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung und binomialverteilte Zufallsgrößen. Außerdem stelle ich viele Beispiele dazu zur Verfügung. Beispiele von Binomialverteilungen für n = 40 und p variabel Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße, Formel Varianz und Standardabweichung Link zu Aufgaben Beispiele von Binomialverteilungen für n = 40 und p variabel Wenn wir einen Bernoulli-Versuch, …
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen Weiterlesen »
In diesem Beitrag definiere ich zuerst den Begriff Bernoulli-Experiment. Danach erkläre ich dies anhand eines Beispiels. Anschließend zeige ich, wie man die Anzahl der Pfade mit k Erfolgen und die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad mit k Erfolgen aufstellt. Darauf folgt die Formel für die Pfadwahrscheinlichkeit. Daraus leite ich den Binomische Lehrsatz und die Definition der …
Im letzten Beitrag, Kombinatorik, haben wir uns mit geordneten und ungeordneten Stichprobe mit und ohne Zurücklegen beschäftigt. In diesem Beitrag lernen wir die Formeln für Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Erwartungswert kennen. Damit kann man z. B. bei Glücksspielen Aussagen über den zu erwartenden Gewinn bzw. Verlust machen. Dazu gibt es viele Beispiele. Beispiel Definition Zufallsvariable Definition Wahrscheinlichkeitsverteilung …
Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Erwartungswert Weiterlesen »
In den bisherigen Beiträgen konnten wir mit übersichtlichen Ergebnisbäumen arbeitet. Doch diese Methode hat ihre Grenzen. Das zeigt schon allein das Beispiel des mehrmaligen Wurfes eines Würfels. Hier beschäftigen wir uns mit der Ereignissen, die in einer bestimmten Reihenfolge erfolgen. Mit anderen Worten in einer bestimmten Kombination. Deshalb spricht man hier auch von der Kombinatorik. …
Wenn wir einen Würfeln mehrmals werfen, hängt die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zwischen 1 und 6 zu werfen, nicht von dem vorherigen Ergebnis ab. Denn jeder Wurf geschieht unabhängig von dem vorigen. Wenn man jedoch aus einer Urne mit verschieden farbigen Kugeln nacheinander Kugeln zieht, ohne sie zurückzulegen, ist die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis …
Hier geht es um Wahrscheinlichkeiten, die man mit ‚und‘ und ‚oder‘ verknüpft. Dazu stelle ich viele Beispiele und Übungen zur Verfügung. Beispiel Und Oder Wahrscheinlichkeit: In einem Abiturjahrgang am Berufskolleg sind 100 Schüler/innen. Davon lernen 87 Spanisch (S) und 75 Französisch (F), 70 beherrschen beide Fremdsprachen. a) Wie viele Schüler/innen lernen Französisch oder Spanisch? Oder …
Wahrscheinlichkeit bei verknüpften Ereignissen Weiterlesen »
In diesem Beitrag stelle ich viele Beispiele für das Urnenmodell vor. Das Ziehen kann man auf zwei verschiedene Arten durchführen: Wir ziehen eine Kugel und legen sie danach wieder zurück. Das entspricht dem Urnenmodell mit Zurücklegen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wenn wir die Kugel nach dem Ziehen nicht wieder zurücklegen, sprechen wir vom Urnenmodell ohne Zurücklegen. …
Im letzten Beitrag haben wir uns mit einstufigen Ereignissen beschäftigt. Zum Beispiel wenn wir einen Würfel nur einmal werfen. Jetzt geht es um mehrstufige Zufallsversuche. Dazu stelle ich viele Beispiele vor. Außerdem erkläre ich die 1. und 2. Pfadregel. Schließlich geht es um das Laplace-Experiment. Am Schluss verlinke ich zu Aufgaben. Durch Klick auf einen Link kommt …
Als Erstes berechne ich in einem Beispiel die absolute und relative Häufigkeit eines Ereignisses. Danach gehe ich auf die Häufigkeit des Gegenereignisses ein. Anschließend definiere ich die Wahrscheinlichkeit am Beispiel eines idealen Würfels. Die Wahrscheinlichkeit das Werfen von Heftzwecken zu berechnen ist dagegen schwerer. Dies zeige ich anhand von Versuchen. Dazu stelle ich Übungen zur …
Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit Weiterlesen »
In diesem Beitrag erkläre ich, wie man Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verknüpft. Dazu stelle ich anschauliche Beispiele und Übungen aus der Mengenlehre vor. Zuletzt definiere ich unvereinbare Ereignisse: deren Und-Verknüpfung ist leer. Beispiel für eine Verknüpfung von Ereignissen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Wenn wir einen Würfel einmal werfen, können wir Ereignisse festlegen: A: Die Augenzahl ist …
Verknüpfung von Ereignissen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Weiterlesen »
In diesem Beitrag definiere ich die Begriffe Ereignis und Gegenereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung anhand anschaulicher Beispiele und Übungen. Außerdem gebe ich Tipps zum Vorgehen bei der Suche nach einem Gegenereignis. Wir betrachten hierzu das einmalige Würfeln. Dabei besteht die Ergebnismenge aus 6 möglichen Ergebnissen: S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Die Erklärung der …
In diesem Beitrag führe ich anhand von leicht verständlichen Beispielen und Übungen in die Wahrscheinlichkeitsrechnung ein. Zuerst definiere ich die Begriffe Zufallsexperiment und einstufiges Zufallsexperiment. Danach erkläre ich Ergebnis und Ergebnismenge. Anschließend zeige ich die Darstellung in der Mengenschreibweise und als Baumdiagramm. Zuletzt erkläre ich das mehrstufige Zufallsexperiment. Wenn es um Wahrscheinlichkeiten geht, denken wir …
In diesem Beitrag zeige ich zuerst, wie man mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 die Intervallwahrscheinlichkeit bei einem n-stufiger Bernoulli-Versuch berechnet. Danach erkläre ich anhand eines Beispiels die Berechnung von Intervallgrenzen. Anschließend gebe ich eine Zusammenfassung über die Grenzen bei der Binomialverteilung. Zuletzt gehe ich auf Normalverteilung und Intervalle ein. Casio fx-CG20 …
In diesem Beitrag zeige ich, wie man mit dem Casio fx-CG20 und dem Casio fx-CG50 Zufallszahlen generiert und Kombinatorik berechnet. Zuerst zeige ich anhand eines Beispiels, wie man mit dem Casio fx-CG50 x-Fakultät (x!) eingibt. Außerdem Variation, Permutation. Casio fx-CG20 auf Casio fx-CG50 updaten Wer noch den Casio fx-CG20 hat, kann sich auf der Webseite …
