Hier findest du alle Beiträge zum Thema Funktionen. Von einfachen Erklärungen, über Aufgaben bis hin zu ausführlichen Lösungen findest du hier alles, was du zum Funktionen wissen musst.
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben Ganzrationale Funktionen zur Symmetrie und Verlauf der Funktionen. 1. Untersuche, ob f(x) eine ganzrationale Funktion ist! Gib gegenenfalls den Grad der Funktion und den Wert der Koeffizienten a0; a1; a2; … an! Ergebnisse: a) f(x) = 2 n = 0; a0 = 2 b) f(x) = 4x n […]
Lösungen ganzrationale Funktionen Symmetrie und Verlauf Read More »
Hier findest du die Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen 3. Grades mittels 4 Punkte. Im zweiten Teil gebe ich an, ob die Funktion achsen- oder punktsymmetrisch ist oder ich gebe Nullstellen an. Teil I: Gegeben sind 4 Punkte. Finde die Funktionsgleichung und zeichne danach den Graphen. Berechne außerdem die Achsenschnittpunkte und fehlende Werte mit dem Horner-Schema!
Aufgaben zu Ganzrationalen Funktionen 3. Grades mittels 4 Punkte Read More »
Hier findest du die Aufgaben zu lineare Funktionen V, darin geht es darum, ob drei Geraden durch einen Punkt verlaufen. 1. Prüfe ob die Geraden g, h, i durch einen Punkt verlaufen! a) g(x) = x + 1 h: 2y + x + 4 = 0 i: 3y – 5x = 7 b) 2. Wertetabelle
Aufgaben Lineare Funktionen Teil V Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu linearen Funktionen V, es geht um die Schnittpunkte der Geraden. 1. Prüfe ob die Geraden g, h, i durch einen Punkt verlaufen! Ausführliche Lösungen: a) b) Die drei Geraden haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt. 2. Gegeben ist eine Wertetabelle für zwei lineare Funktionen f(x) und g(x). Wo schneiden
Lösungen Lineare Funktionen Teil V mit komplettem Lösungsweg Read More »
Hier findest du die Aufgaben zu Exponentialgleichungen mit e-Funktion und Brüchen. 1. Löse die Gleichungen! a) b) 2. Löse die Gleichungen! a) b) c) d) 3. Löse die Gleichungen! a) b) c) d) e) f) 4. Für welche Werte von k hat die Gleichung eine Lösung? a) b) c) 5. Löse die Gleichungen! a) b)
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Hier findest du die Lösungen Exponentialgleichungen Brüche. 1. Löse die Gleichungen! Ausführliche Lösungen: a) b) 2. Löse die Gleichungen! Ausführliche Lösungen: a) b) c) d) Lösungsweg: Nach einfacher algebraischen Umformung (Multiplikation mit -5/2) werden die beiden Summanden getrennt, so dass auf jeder Seite der Gleichung logarithmiert werden kann. Durch Logarithmieren mit dem Logarithmus zur Basis e
In diesem Beitrag gebe ich eine Zusammenfassung der Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen. Zuerst stelle ich ein Beispiel vor. Danach zeige ich nacheinander den Logarithmus eines Produktes, eines Quotienten, einer Potenz, Logarithmus von der Basis, Logarithmus von der Zahl 1, Die wichtigsten Potenzgesetze, Logarithmus im Exponenten. Zuletzt eine Tabelle zur Umrechnung von einem Logarithmensystem in
Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen Read More »
Hier findest du die Sachaufgaben zu Exponentialgleichungen mit Parametern. 1. Löse 2. Bestimme 3. Für welche Werte von k 4. Schreibe als Exponentialgleichung zur Basis e und löse die Gleichung! a) b) c) 5. Gib mögliche Werte an 6. Zeige 7. Für welche Werte von k 8. Für welche Werte von k 9. Löse 10.
Aufgaben Exponentialgleichungen Parameter Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Exponentialgleichungen mit Parametern. 1. Ergebnis 2. Ergebnis 3. Ergebnis 4. Ergebnisse a) b) c) 5. Ergebnis 6. Ergebnis 7. Ergebnis 8. Ergebnis 9. Ergebnis 10. Ergebnis 11. Ergebnisse a) b) 12. Ergebnisse a) b) 13. Ergebnisse a) b) c) Hier findest du die Aufgaben hierzu. Und hier
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Hier findest du die Aufgaben zu Exponentialgleichungen mit Sachaufgaben. 1. Löse die Gleichungen! a) b) c) d) e) f) g) h) i) 2. Löse die Gleichungen! a) b) c) d) e) f) 3. Gegeben ist eine Folge von Quadraten. Das erste Quadrat hat die Seitenlänge a = 1. Das zweite Quadrat hat die Seitenlänge a
Aufgaben Exponentialgleichung Sachaufgaben Read More »
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben Exponentialgleichungen VII, weiter unten mit Sachaufgaben. 1. Löse die Gleichungen! Ergebnisse a) b) c) d) e) f) g) h) i) 2. Löse die Gleichungen! Ergebnisse a) b) c) d) e) f) 3. Ergebnisse a) b) 4. Herr Geier legt ein Kapital von 4000 € zu einem Jahreszins von
Lösungen Exponentialgleichungen VII, mit Sachaufgaben Read More »
Hier findest du Aufgaben mit Exponentialgleichungen und e-Funktionen. 1. Löse die Gleichungen! a) b) c) d) e) f) g) h) i) 2. Löse die Gleichungen! a) b) c) d) e) f) 3. Löse die Gleichungen! a) b) c) d) e) f) 4. Löse die Gleichungen! a) b) c) d) e) f) 5. Löse die Gleichungen!
Aufgaben: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben mit Exponentialgleichungen und e-Funktionen. 1. a) Löse die Gleichung! Ausführliche Lösung: Wir formen die Gleichung zunächst so um, dass auf beiden Seiten möglichst einfache Ausdrücke stehen. Dann logarithmieren wir unter Anwendung der bekannten Logarithmengesetze. Hier kannst du nochmal alles zu Logarithmen nachlesen. Und hier die Playlist aller Videos dazu: 📽️ Videos
Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg Read More »
Hier findest du die Aufgaben mit Exponentialgleichungen und e-hoch-x. 1. Löse folgende Exponentialgleichungen! a) b) c) d) 2. Löse folgende Exponentialgleichungen! a) b) c) d) 3. Löse folgende Exponentialgleichungen! a) b) 4. Löse folgende Exponentialgleichungen! a) b) c) d) 5. Löse folgende Exponentialgleichungen! a) b) c) d) 6. Löse folgende Exponentialgleichungen! a) b) c) d)
Aufgaben Exponentialgleichungen II, mit e-hoch-x lösen Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben mit Exponentialgleichungen und e-hoch-x. 1. Löse folgende Exponentialgleichungen! Ausführliche Lösungen a) Lösung durch logarithmieren b) Lösung durch logarithmieren c) Lösung durch logarithmieren d) Lösung durch logarithmieren 2. Löse folgende Exponentialgleichungen! Ausführliche Lösungen a) Lösung durch logarithmieren b) Lösung durch logarithmieren c) Lösung durch logarithmieren d) Lösung durch logarithmieren
Lösungen Exponentialgleichungen II, mit e-hoch-x lösen mit komplettem Lösungsweg Read More »
Hier findest du weitere Aufgaben mit Exponentialgleichungen, diesmal geht es um gebrochene Exponenten. Dabei gebe ich Tipps für die Vorgehensweise. Beispiel als Hilfe: 1. Berechne! a) b) c) d) e) f) 2. Berechne! a) b) c) d) e) f) 3. Berechne! a) b) c) d) e) f) 4. Berechne! a) b) c) d) e) f)
Aufgaben: Exponentialgleichungen III mit gebrochenem Exponenten Read More »
Hier findest du die Lösungen zu weiteren Aufgaben mir Exponentialgleichungen, diesmal geht es um gebrochene Exponenten. 1. Berechne! Ausführliche Lösungen a) Da 243 eine Potenz der Zahl 3 ist, lässt sich die Exponentialgleichung auf einfache Weise durch Exponentenvergleich lösen. b) Da 15625 eine Potenz der Zahl 5 ist, lässt sich die Exponentialgleichung auf einfache Weise
Lösungen Exponentialgleichungen III mit gebrochenem Exponenten mit komplettem Lösungsweg Read More »
Hier findest du Aufgaben mit Exponentialgleichungen. Dazu kannst du dir die Video zu Logarithmen ansehen: Playlist aller 📽️ Videos zu Logarithmen. 1. Löse die Gleichung! 2. Löse die Gleichung! 3. Löse die Gleichung! 4. Löse die Gleichung! 5. Löse die Gleichung! 6. Löse die Gleichung! 7. Löse die Gleichung! 8. Löse die Gleichung! 9. Löse
Aufgaben: Exponentialgleichungen I, einfache Exponentialgleichungen lösen Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben mit Exponentialgleichungen. Dazu kannst du dir die Video zu Logarithmen ansehen: Playlist aller 📽️ Videos zu Logarithmen. 1. Löse die Gleichung! Ausführliche Lösung Lösung der Exponentialgleichung durch Logarithmieren. 2. Löse die Gleichung! Ausführliche Lösung Lösung der Exponentialgleichung durch Logarithmieren. 3. Löse die Gleichung! Ausführliche Lösung Lösung der Exponentialgleichung
Lösungen einfache Exponentialgleichungen lösen Read More »
Hier findet ihr Aufgaben zur Integration der e-Funktion, uneigentliche Integrale und Flächenberechnungen. 1. Berechne folgende Integrale und skizziere die jeweilige Fläche. a) b) c) 2. Berechne folgende Integrale und skizziere die jeweilige Fläche. a) b) c) 3. Berechne folgende Integrale und skizziere die jeweilige Fläche. a) b) c) 4. Berechne folgende Integrale und skizziere die
Aufgaben Integration der e-Funktion, uneigentliche Integrale, Flächenberechnungen Read More »
Hier findet ihr die ausführlichen Lösungen zu den Aufgaben zur Integration der e-Funktion, uneigentliche Integrale und Berechnungen der Flächen. 1. Ausführliche Lösungen: a) b) c) 2. Ausführliche Lösungen: a) b) c) Zuerst berechnen wir ohne Grenzwertbildung: Als nächstes mit Grenzwertbildung: 3. Ausführliche Lösungen: a) Lösung durch Substitution Substitution: Die untere Grenze ist folglich: u(0) =
Hier findest du die Aufgaben zu Potenzen mit e-Funktionen. 1. Multipliziere aus und vereinfache! a) b) c) 2. Multipliziere aus und vereinfache! a) b) c) d) e) f) 3. Vereinfache und fasse zusammen! a) b) c) d) e) f) 4. Vereinfache und fasse zusammen! a) b) c) d) e) f) 5. Vereinfache und fasse zusammen!
Aufgaben zu Potenzen VIII mit e-Funktionen Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Potenzen mit e-Funktionen. 1. Multipliziere aus und vereinfache! Ausführliche Lösungen a) b) c) 2. Multipliziere aus und vereinfache! Ausführliche Lösungen a) b) c) d) e) f) 3. Vereinfache und fasse zusammen! Ausführliche Lösungen a) b) c) d) e) f) 4. Vereinfache und fasse zusammen! Ausführliche Lösungen a)
Lösungen zu Potenzen mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg Read More »
Hier findest du die Aufgaben zu Potenzen und Polynomdivision. 1. Berechne die folgenden Terme mit Hilfe der Polynomdivision! Dazu könnt ihr euch das 📽️Video Polynomdivision ansehen. a) b) c) 2. Berechne die folgenden Terme! a) b) c) 3. Berechne die folgenden Terme! a) b) c) 4. Berechne die folgenden Terme! a) b) c) 5. Berechne
Aufgaben zu Potenzen VII mit Polynomdivision Read More »
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zu Potenzen und Polynomdivision. Dazu könnt ihr euch das 📽️Video Polynomdivision ansehen. 1. Berechne die folgenden Terme! Ausführliche Lösungen a) b) c) 2. Berechne die folgenden Terme! Ausführliche Lösungen a) b) c) 3. Berechne die folgenden Terme! Ausführliche Lösungen a) b)
Lösungen zu Potenzen VII und Polynomdivision mit komplettem Lösungsweg Read More »
Hier findest du eine umfangreiche Formelsammlung der Analysis: Von den binomischen Formeln, Potenzgesetzen, Logartithmusgesetzen, p-q-Formel, quadratische Funktionen bis zur Integralrechnung, mit vielen Beispielen. Binomische Formeln Binomische Formeln Beispiel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2
Formelsammlung zur Analysis mit Beispielen Read More »
Hier findest du eine Integraltabelle mit Logarithmusfunktionen. Dazu unbestimmte und bestimmte Integrale. Integraltabelle mit einigen unbestimmten Integralen 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. Einigen bestimmte Integrale 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
Integraltabelle Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen Read More »
Zuerst definiere ich den Begriff der Stetigkeit bei Funktionen und veranschauliche sie anhand einiger Beispiele. Danach stelle ich Beispiele für differenzierbarer Funktionen vor. Zuletzt erkläre ich die mathematische Definition der Differenzierbarkeit und die Mathematische Definition der Differenzierbarkeit. Stetigkeit Definition Differenzierbarkeit Beispiel stetig und differenzierbar Beispiele für stetig, aber nicht differenzierbar Mathematische Definitionen Links zu Aufgaben
Stetig, Differenzierbar, Integrierbar Read More »
Wie wir in vorherigen Beiträgen gesehen haben, wird die Integralrechnung meist eingesetzt, um Flächen zwischen Graphen bzw. der x-Achse zu berechnen. Es gibt jedoch auch Integrale, die eigentlich nicht zur Flächenberechnung benutzt werden können, denn sie sind in einer Richtung unendlich. Mit anderen Worten: Ihre Grenzen sind nicht definiert, sie haben einen unbeschränkten Integrationsbereich. Deshalb
Uneigentliche Integrale Read More »
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben Integration der e-Funktion mit komplettem Lösungsweg. 1. Ausführliche Lösung: 2. Ausführliche Lösung: 3. Ausführliche Lösung: 4. Ausführliche Lösung: 5. Ausführliche Lösung: 6. Ausführliche Lösung: 7. Ausführliche Lösung: 8. Ausführliche Lösung: 9. Ausführliche Lösung: 10. Ausführliche Lösung: Hier findest du die Theorie und Aufgaben hierzu. Und hier
Lösungen zu Integration der e-Funktion mit komplettem Lösungsweg Read More »
In diesem Beitrag beschäftige ich mich mit der Integration der e-Funktion. Dazu zeige ich den Zusammen zwischen Stammfunktion und Integrandenfunktion. Dann stelle ich das allgemeine und das bestimmte Integral mit Substitution vor. Am Schluss stelle ich Aufgaben zur Verfügung. Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Integrandenfunktion Beispiel Allgemeines Integral mit Substitution Bestimmtes Integral mit Substitution Trainingsaufgaben zum Integrieren
Integration e-Funktion Read More »
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zu Ableitungen der e-Funktion mit Produktregel und Kettenregel mit komplettem Lösungsweg. Sind die Aufgaben 4 und 8 besser lesbar als die anderen? Ich würde mich über eine Antwort freuen! Viel Erfolg! 1. Ausführliche Lösung: 2. Ausführliche Lösung: 3. Ausführliche Lösung: 4. Ausführliche Lösung: 5. Ausführliche Lösung: 6.
Wenn ihr eine einfache Version der Ableitung der e-Funktion sucht, seid ihr hier richtig! Die ist nicht einfach, deshalb stelle ich hier eine einfache Version vor. (Auch auf die Gefahr hin, dass einigen Mathematikern die Haare zu Berge stehen!) Anschließend zeige ich, wie man die Kettenregel und die Produktregel bei e-Funktionen einsetzt. Dann stelle ich noch
Ableitungen e-Funktion mit Produktregel Kettenregel Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Achsenschnittpunkten von Exponentialgleichungen. Teil I 1. Vereinfache mit den dir bekannten Potenz- und Logarithmengesetzen folgenden Term: Ausführliche Lösung : 2. Vereinfache mit den dir bekannten Potenz- und Logarithmengesetzen folgenden Term: Ausführliche Lösung ; 3. Vereinfache mit den dir bekannten Potenz- und Logarithmengesetzen folgenden Term: Ausführliche Lösung: 4.
Nachdem wir im letzten Beitrag die Exponentialfunktionen und die e-Funktion kennengelernt haben, stelle ich hier einige praktische Anwendungsbereiche vor. Vorher zeige ich, wie man die Funktionsgleichung aufstellt. Aufstellen der Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion Übungsaufgabe mit Lösung Definition Exponentialfunktion spezielle Beispiele zur e-Funktion Exponentielles Wachstum von Bakterien Exponentielle Abnahme beim radioaktiven Verfall. Die Zahl e, der natürliche
Anwendungen der Exponentialfunktion Read More »
Zuerst wiederhole ich hier die wichtigsten Eigenschaften einer Funktion. Danach biete ich einen Überblick über die wichtigsten Funktionsklassen mit vielen Beispielen. Darunter sind Umkehrfunktionen, transzendente Funktionen etc. Außerdem gibt es Aufgaben zu Graphen von e-Funktionen und Logarithmusfunktionen. Die wesentliche Eigenschaft einer Funktion: Rationale Funktionsklasse Gebrochenrationale Funktionsklasse n-ten Grades Transzendente Funktionsklasse Exponentialfunktionsklasse Die e-Funktion als besondere
Überblick über die wichtigsten Funktionsklassen Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Logarithmusfunktionen. Zeichne jeweils den Graphen und lese die Verschiebungen und Formänderung der Grundfunktion ln (x), sowie Achsenschnittpunkte, Grenzwerte und Extremwerte ab. 1. f(x) = ln für (0; 8] Ausführliche Lösung : f(x) = ln(x) Grundfunktion Nullstelle bei x = 1, denn f(1) = ln(1) = 0 nur
Lösungen zu Logarithmusfunktionen Read More »
In diesem Beitrag zeige ich zuerst, wie man mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG 50 Kurvenscharen darstellen kann. Dazu erkläre ich wie man zu zeichnenden Graphen in den Grafikeditor einträgt. Danach erkläre ich anhand von Beispielen, wie man Parameter in geschweiften Klammern, einen Buchstaben als Variablenname für den Parameter und eine Liste
Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 Darstellungen von Kurvenscharen Read More »
In diesem Beitrag zeige ich zuerst, wie man mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG 50 Extrempunkte bestimmt. Danach erkläre ich an einem Beispiel das Zeichnen der Ableitungen f‘(x) und f‘‘(x). Danach zeige ich, wie man Wendepunkte berechnet. Zuletzt erkläre ich das Berechnen von Tangente und Normale. Casio fx-CG20 auf Casio fx-CG50 updaten
Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 Extrempunkte, Wendepunkte, Tangente und Normale Read More »
In diesem Beitrag findest du eine Übersicht aller Formeln zu ganzrationalen Funktionen. Dabei berücksichtige ich Symmetrien, Achsenschnittpunkte, Nullstellenberechnung, interaktive Hilfsmittel und viele Beispiele. Dazu führe ich Definitionen, Formeln und Vorgehensweisen an. Außerdem gebe ich viele Beispiele. Definition ganzrationale Funktion Verlauf des Graphen einer ganzrationale Funktion Symmetrien Achsenschnittpunkte Verfahren zur Nullstellenberechnung Faktorisierungsverfahren Substitutionsverfahren Polynomdivision Graphen zeichnen
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