Funktionen

Hier findest du alle Beiträge zum Thema Funktionen. Von einfachen Erklärungen, über Aufgaben bis hin zu ausführlichen Lösungen findest du hier alles, was du zum Funktionen wissen musst.

Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 Darstellungen von Kurvenscharen

Exponentialfunktionen, Funktionen, GTR grafikfähiger Taschenrechner, Mathematik

In diesem Beitrag zeige ich zuerst, wie man mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG 50 Kurvenscharen darstellen kann. Dazu erkläre ich wie man zu zeichnenden Graphen in den Grafikeditor einträgt. Danach erkläre ich anhand von Beispielen, wie man Parameter in geschweiften Klammern, einen Buchstaben als Variablenname für den Parameter und eine Liste […]

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Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 Extrempunkte, Wendepunkte, Tangente und Normale

Aufgabensammlung, Funktionen, Ganzrationale Funktionen, GTR grafikfähiger Taschenrechner, Mathematik

In diesem Beitrag zeige ich zuerst, wie man mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG 50 Extrempunkte bestimmt. Danach erkläre ich an einem Beispiel das Zeichnen der Ableitungen f‘(x) und f‘‘(x). Danach zeige ich, wie man Wendepunkte berechnet. Zuletzt erkläre ich das Berechnen von Tangente und Normale. Casio fx-CG20 auf Casio fx-CG50 updaten

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Übersicht aller Formeln zu ganzrationalen Funktionen

Funktionen, Ganzrationale Funktionen, Mathematik, weitere Ganzrationale Funktionen

In diesem Beitrag findest du eine Übersicht aller Formeln zu ganzrationalen Funktionen. Dabei berücksichtige ich Symmetrien, Achsenschnittpunkte, Nullstellenberechnung, interaktive Hilfsmittel und viele Beispiele. Dazu führe ich Definitionen, Formeln und Vorgehensweisen an. Außerdem gebe ich viele Beispiele. Definition ganzrationale Funktion Verlauf des Graphen  einer ganzrationale Funktion Symmetrien Achsenschnittpunkte Verfahren zur Nullstellenberechnung Faktorisierungsverfahren Substitutionsverfahren Polynomdivision Graphen zeichnen

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Lösungen zum Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen mit komplettem Lösungsweg

Aufgabensammlung, Ganzrationale Funktionen, Mathematik, weitere Ganzrationale Funktionen

Hier findest du die ausführlichen Lösungen der Aufgaben zum Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen. Z. B. zu ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte. Teil I: Ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte. Finde jeweils die Funktionsgleichung und zeichne den Graphen! Berechne die Achsenschnittpunkte und fehlende Werte mit dem Hornerschema! Zum Horner-Schema kannst du dir das Außerdem 📽️

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Funktionsgleichung mit bekannten Punkten bestimmen

Funktionen, Ganzrationale Funktionen, Mathematik, weitere Ganzrationale Funktionen

In diesem Beitrag erkläre ich, wie man die Funktionsgleichung einer Parabel für ganzrationale Funktionen bis zu 4. Grades durch 5 Punkte bestimmt. Mit anderen Worten: wie man ein Polynom aus Punkten bestimmen kann. Am Schluss verlinke ich Übungsaufgaben. Wiederholung: Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen, interaktiven Rechner dazu Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4

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Graphen ganzrationaler Funktionen zeichnen

Aufgabensammlung, Funktionen, Ganzrationale Funktionen, Mathematik

Um den Graphen einer ganzrationalen Funktion zeichnen zu können, benötigt man eine Wertetabelle und die Achsenschnittpunkte. Deshalb zeige ich, wie man Wertetabelle mithilfe des HORNER-Schemas berechnet. Anschließend erkläre ich, wie man die Nullstelle mithilfe des Koeffizienten a0 finden kann. Zuletzt stelle ich Trainingsaufgaben zum zeichnen des Graphen zur Verfügung. Wertetabelle mithilfe des HORNER-Schemas berechnen: Dazu

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Lösungen zu Graphen ganzrationaler Funktionen zeichnen mit komplettem Lösungsweg

Funktionen, Ganzrationale Funktionen, Mathematik, weitere Ganzrationale Funktionen

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Graphen ganzrationaler Funktionen zeichnen mit komplettem Lösungsweg. Dabei geht es um das Horner-Schema, Achsenschnittpunkte und Wertetabellen. Dazu kannst du dir das Video 📽️ Video Horner-Schema: Funktionswerte berechnen ansehen. Training I: HORNER-Schema, Achsenschnittpunkte, Wertetabelle, Graphen Mach jweils eine Aussage über das Symmetrieverhalten. Berechnen Sie mit dem Hornerschema die

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Achsenschnittpunkte und Nullstellenberechnung ganzrationaler Funktionen

Funktionen, Ganzrationale Funktionen, Mathematik

Im letzten Beitrag habe ich die Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen erklärt. Hier zeige ich, wie man die Nullstellen ganzrationaler Funktionen berechnet. Mit anderen Worten: Wir berechnen die Achsenschnittpunkte. Zuerst zeige ich Funktionen und deren Graphen mit einer, mehreren und keiner Nullstelle. Danach erkläre ich eine Regel für Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Dann stelle ich einen

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Lösungen Potenzfunktionen und deren Eigenschaften

Aufgabensammlung, Funktionen, Mathematik, Potenzen

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Potenzfunktionen und deren Eigenschaften. Es geht darum, den Grad der Potenzfunktion zu bestimmen. Außerdem Symmetrieverhalten, Verlauf des Graphen und Wertemenge. Bestimme jeweils den Grad der Potenzfunktion. Mache danach eine Aussage über das Symmetrieverhalten, den Verlauf des Graphen und die Wertemenge. Zeichne den Graphen in ein Koordinatensystem.Dazu könnt

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Potenzfunktionen und deren Eigenschaften

Aufgabensammlung, Funktionen, Ganzrationale Funktionen, Mathematik

Bis jetzt haben wir Funktionen kennengelernt, bei denen die Variable x in der 2. Potenz steht. Deshalb nennt man solche Funktionen quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades. Die Variable x kann allerdings in jeder Potenz auftreten. Diese Funktionen nennen wir deshalb Potenzfunktionen. Zuerst erkläre ich die Definition der Potenzfunktion. Danach stelle ich Beispiele

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Ökonomische Funktionen Übersicht

Funktionen, Mathematik, Quadratische Funktionen

Nachdem wir uns intensiv mit quadratischen Funktionen beschäftigt haben, gebe ich hier eine Übersicht, wie man ökonomische Probleme mittels linearer und quadratischer Funktionen lösen kann. Zuerst stelle die Formeln für die Kostenrechnung vor. Danach zeige ich, wie man mithilfe der Erlösfunktions-Formel das Erlösmaximum und die Erlösschwelle errechnet. Anschließend zeige ich, wie man mithilfe der Gewinnfunktions-Formel

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Formelsammlung Quadratische Funktionen

Funktionen, Mathematik, Quadratische Funktionen

In diesem Beitrag stelle ich eine Formelsammlung Quadratische Funktionen zur Verfügung. Wenn du mehr wissen willst, klick auf den Link zu dem jeweiligen Beitrag. Funktionsgleichung: Die Funktionsgleichungen haben die Form: Solche Funktionen nennt man quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades. Die Graphen werden Parabeln genannt. Scheitelpunkt-Scheitelpunktform Darüber erfährst du mehr in dem Beitrag:

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Funktionsgleichung Parabel durch drei Punkte

Funktionen, Mathematik, Quadratische Funktionen

Wir haben uns bisher den Schnittpunkt von Parabel und Gerade berechnet. In diesem Beitrag erkläre ich zuerst, wie man die Funktionsgleichung der Parabel durch drei Punkte aufstellt. Danach zähle ich die Reihenfolge in der Vorgehensweise beim Aufstellen auf. Dann zeige ich das Aufstellen des Gleichungssystems und das Additionsverfahrens. Außerdem stelle ich ein interaktives Programm zur Verfügung. Danach

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Schnittpunkt zweier Parabeln berechnen

Funktionen, Mathematik, Quadratische Funktionen

Im letzten Beitrag ging es um den Schnittpunkt von Parabel und Gerade. Zuerst erkläre ich anhand eines Beispiels, wie man den Schnittpunkt zweier Parabeln berechnet. Anschließend stelle ich Übungsaufgaben hierzu und einen interaktiven Rechner zur Verfügung. Zuletzt erläutere ich dies. Beispiel zum Schnittpunkt zweier Parabeln Diesmal wollen wir die Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen und wir

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Schnittpunkt von Parabel und Gerade

Funktionen, Mathematik, Quadratische Funktionen

Hier stelle ich zuerst ein Beispiel aus der Praxis für den Schnittpunkt von Parabeln und Gerade vor. Danach erkläre ich wie man die Funktionsgleichung aufstellt und die Schnittpunkte  berechnet. Anhand von Trainingsaufgaben, erkläre ich anschließend die Begriffe Sekante, Tangente und Passante. Außerdem stelle ich einen interaktiven Rechner zur Verfügung. Beispiel: Ein Fußweg verläuft unterhalb einer Hochstraße

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Achsenschnittpunkte, Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen

Funktionen, Mathematik, Quadratische Funktionen

Hier erkläre ich zuerst, wie man die Achsenschnittpunkte quadratischer Funktionen berechnet. Dazu stelle ich Trainingsaufgaben zur Verfügung. Außerdem einen interaktiven Parabelanalysator, einen Nullstellenfinder  und einen Parabelplotter. Danach lasse ich ein paar Bemerkungen zum Betrag und zur Definitions- und Wertemenge fallen. Anschließend zeige ich anhand eines anschaulichen Beispiels die Symmetrie quadratischer Funktionen.  Den Scheitelpunkt über die Nullstellen berechnen

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Aufgaben zu Achsenschnittpunkte, p-q-Formel und Linearfaktoren

Aufgabensammlung, Funktionen, Mathematik, Quadratische Funktionen

Nullstellenbestimmung über die quadratische Ergänzung Gegeben ist die Funktionsgleichung f(x) einer Parabel (ganzrationale Funktion 2. Grades). Bestimme für folgende Parabeln die Nullstellen und die Achsenschnittpunkte. Zeichne den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunktes. Ausführliches Beispiel als Hilfestellung: Zuerst setzten wir die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion auf Null. Danach bringen wir die daraus entstehende quadratische Gleichung

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Lösungen der Aufgaben zu Achsenschnittpunkte, p-q-Formel und Linearfaktoren

Aufgabensammlung, Funktionen, Mathematik, Quadratische Funktionen

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Achsenschnittpunkte, p-q-Formel und Linearfaktoren. 1. Berechne die Nullstellen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung und die Achsenschnittpunkte. Zeichne den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunktes. Ergebnis:   2. Berechne die Nullstellen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung und die Achsenschnittpunkte. Zeichne den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunktes. Ergebnis:

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Lösungen zu den Aufgaben zu Formfaktor, Verschiebungen und Scheitelpunkt

Aufgabensammlung, Funktionen, Mathematik, Quadratische Funktionen

Hier gibt es die Lösungen der Aufgaben zu Formfaktor, Verschiebungen, Scheitelpunkt bei quadratischen Funktionen. In den Aufgaben 1 bis 10 sollst du Wertetabellen aufstellen, Parabeln zeichnen. Danach bei den Aufgaben 11 bis 20 Scheitelpunkte bestimmen. Im Aufgabenteil findest du Beispiele als Hilfestellung. Trainingsaufgaben 1 bis 10: Zeichne den Graphen der Parabel. Lege dazu eine Wertetabelle

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Aufgaben zu Formfaktor, Verschiebungen und Scheitelpunkt

Aufgabensammlung, Funktionen, Mathematik, Quadratische Funktionen

Hier gibt es Aufgaben zu Formfaktor, Verschiebungen, Scheitelpunkt bei quadratischen Funktionen. Dabei sollst du Wertetabellen aufstellen und Parabeln zeichnen. Im zweiten Teil dann Scheitelpunkte bestimmen. Zuerst stelle ich ausführliche Beispiele als Hilfe zur Verfügung. Aufgaben 1 bis 10: Wertetabelle und Parabel zeichnen Zeichne die Graphen folgender Parabeln! Lege dazu eine Wertetabelle an! Ausführliches Beispiel als

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Formfaktor, Verschiebungen und Scheitelpunkt

Funktionen, Mathematik, Quadratische Funktionen

Nachdem wir uns gründlich mit linearen Funktionen beschäftigt haben, führe ich in diesem Beitrag in quadratische Funktionen ein. Bevor es in die Theorie geht, stelle ich als erstes ein praktische Beispiel vor. Für dieses zeige ich anschließend die Funktionsgleichung, die Wertetabelle und den Graphen. Dabei wird deutlich, dass es sich um eine quadratische Funktion handelt.

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Lösungsstrategieen bei linearen Funktionen

Funktionen, Mathematik

Ich habe ja in mehreren Beiträgen Lösungsstrategieen bei linearen Funktionen vorgestellt: lineare Funktionsgleichungen aufstellen und Schnittpunkt zweier Geraden. In diesem Beitrag stelle ich ein paar praktische Tipps hierzu vor. Ich stelle verschiedene Fälle vor, zum Beispiel sind mal die Steigung und ein Punkt bekannt, mal zwei Punkte. Wir wollen jeweils die Funktionsgleichung berechnen. Lineare Funktionen

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Lineare Funktionen kurz erklärt

Funktionen, Lineare Funktionen, Mathematik

Hier stelle ich einen Lernzettel zu linearen Funktionen zusammen. Dabei zeige ich, wie man die Achsenschnittpunkte, das Steigungsdreieck einer linearen Funktion berechnet und wie man Lineare Funktionen aus gegebenen Bedingungen aufstellt. Außerdem erkläre ich die Lage zweier Geraden zueinander. Schließlich stelle ich ein interaktives Programm zu Erkennen von Geraden zur Verfügung. Allgemeine Funktionsgleichung der Geraden

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Textaufgaben zu linearen Funktionen

Aufgabensammlung, Funktionen, Lineare Funktionen, Mathematik

Hier findet ihr Textaufgaben zu lineare Funktionen. Nachdem ich im vorherigen Beiträgen erklärt habe, wie man die Lage zweier Geraden berechnet, zeige ich hier anhand einiger Beispiele, wie man alltägliche Probleme mittels linearer Funktionen lösen kann. Tipps zum Vorgehen beim Lösen von Textaufgaben zu linearen Funktionen Wie bei allen Textaufgaben frage dich als erstes: Textaufgabe

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Lösungen zu den Aufgaben zum Schnittpunkt zweier Geraden zueinander mit komplettem Lösungsweg

Aufgabensammlung, Funktionen, Mathematik

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zum Schnittpunkt zweier Geraden. Zuerst (im ersten Teil) sind die beiden Funktionsgleichungen bekannt. Danach (im zweiten Teil) eine Funktionsgleichung und ein Punkt der anderen Geraden. Dabei liegen die Geraden dann senkrecht zueinander. 1. Teil: Funktionsgleichungen bekannt Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden g1(x) und g2(x). Berechne den Schnittpunkt

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Aufgaben zu Schnittpunkt zweier Geraden

Aufgabensammlung, Lineare Funktionen, Mathematik

Hier findest du Aufgaben zum Schnittpunkt zweier Geraden. Zuerst sind die beiden Funktionsgleichungen bekannt. Danach eine Funktionsgleichung und ein Punkt der anderen Geraden. Dabei liegen die Geraden senkrecht zueinander. 1. Teil: Funktionsgleichungen bekannt Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden g1(x) und g2(x). Berechne den Schnittpunkt beider Geraden. Zeichne danach die Geraden in ein Koordinatensystem. Tipps

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Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen

Funktionen, Ganzrationale Funktionen, Lineare Funktionen, Mathematik

In diesem Beitrag zeige ich anhand vieler Beispiele, wie man den Schnittpunkt zweier Geraden bei Gleichungssystemen mit einer, ohne und unendlich vielen Lösungen berechnet. Anschließend beweise ich, wie die Funktionen von rechtwinklig zueinander verlaufende Geraden zusammenhängen. Zuletzt gehe ich ausführlich auf die Anwendung linearer Gleichungssysteme in der Kostenrechnung ein. Schnittpunkt der Geraden bei Gleichungssystem mit

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Funktion und Umkehrfunktion

Funktionen, Mathematik

Im letzten Beitrag habe ich eine Einführung in die mathematischen Funktionen gegeben. Hier demonstriere ich zuerst die Begriffe Zuordnungsvorschrift  und inverse Funktion anhand eines anschaulichen Beispiels. Danach zeige ich die Besonderheiten bei der Umkehrfunktion der linearen, quadratischen und e-Funktion. Umkehrfunktionen Die Zuordnungsvorschrift f wird ausgedrückt durch die Funktionsgleichung. Wenn die Funktion eineindeutig, existiert auch eine eindeutige Zuordnung

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Funktionen in der Mathematik einfach erklärt

Funktionen, Mathematik

Im letzen Beitrag Relationen und Funktionen haben wir anhand eines Beispiels gesehen, dass eine Relation eine Paarmenge ist, bei der die Elemente aufgrund einer Zuordnungsvorschrift gebildet werden. Außerdem verstehen wir in der Mathematik unter einer Funktion eine zumindest eindeutige Relation. In diesem Beitrag stelle ich zuerst ein paar Beispiele und Übungen für Funktionen vor. Danach

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Relationen und Funktionen einfach erklärt

Funktionen, Mathematik

Bisher haben wir uns mit Gleichungen in der Form y = 3x beschäftigt. In diesem Beitrag gebe ich anhand eines Beispiels eine Einführung in mathematische Relationen und Funktionen. Zuerst definiere ich die beiden Begriffe und Produktmenge. Danach zeige ich, wie man Relationen im kartesischen Koordinatensystem darstellen kann. Anschließend erkläre ich anhand eines anschaulichen Beispiels die

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Lösungen der Aufgaben Lineare Funktionen IV mit komplettem Lösungsweg

Aufgabensammlung, Ganzrationale Funktionen, Lineare Funktionen, Mathematik

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben lineare Funktionen IV mit komplettem Lösungsweg. 1. Ermittele den Funktionsterm der linearen Funktion f(x), wenn gilt: a) b) c) Ausführliche Lösungen: a) b) c) 2. Zeige Lösung:   3. Zeige Lösung: 4. Eine Gerade durch P ( 2,5 | 0 ) schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.

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Lineare Funktionen Lösungen der Aufgaben III mit komplettem Lösungsweg

Aufgabensammlung, Ganzrationale Funktionen, Lineare Funktionen, Mathematik

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben Lineare Funktionen III. Bei diesen Lösungen zu den Aufgaben zu linearen Funktionen waren entweder zwei Punkte vorgegeben oder ein Punkt und die Steigung, du sollst dabei jeweils die Gleichung bestimmen. 1. Bestimme die Gleichung der Geraden g. a) b) c) d) e) f) g) h) Lösungen: a) b)

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Lineare Funktionen Lösungen der Aufgaben II mit komplettem Lösungsweg

Aufgabensammlung, Ganzrationale Funktionen, Lineare Funktionen, Mathematik

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben Lineare Funktionen II mit komplettem Lösungsweg. 1. Wähle aus Wähle aus nebenstehenden Schaubild die Gerade aus, die parallel zu g(x) durch den Punkt P( 2 | 2 ) verläuft. Bestimme die Funktionsgleichung dieser Geraden und begründe deine Wahl. 2. Der Punkt 3. Liegen die Punkt 4. Bestimme die

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Lösungen der Aufgaben zu Graphen von Exponentialfunktionen und e-Funktion mit komplettem Lösungsweg

Aufgabensammlung, Exponentialfunktionen, Gleichungen, Mathematik, Sekundarstufe 1

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Graphe von Exponentialfunktionen und e-Funktion. Dabei geht es darum e-Funktionen zu verschieben, spiegeln, die Form zu ändern. Außerdem geht es um Grenzwert, Nullstelle, Extremwert, Wendepunkt etc. Ermittele jeweils die Verschiebungen, Spiegelung und Formänderung der Grundfunktion ex. Zeichne den Funktionsgraphen und die Grundfunktion ex in ein geeignetes Koordinatensystem

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Aufgaben zu Graphen von Exponentialfunktionen und e-Funktion

Aufgabensammlung, e-Funktion, Exponentialfunktionen, Mathematik

Bei diesen Aufgaben geht es darum Graphen von Exponentialfunktionen und e-Funktion zu verschieben, spiegeln und die Form zu ändern. Zeichne jeden Funktionsgraphen und die Grundfunktion ex in ein geeignetes Koordinatensystem und berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse. Lese an dem Graphen ab: Grenzwerte und falls vorhanden Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte. Bemerkung: Berücksichtige nur die Funktionswerte,

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Die e-Funktion und Exponentialfunktionen

Differentialrechnung, e-Funktion, Exponentialfunktionen, Mathematik

Ich erkläre was Exponentialfunktionen, die Zahl e und e-Funktionen sind. Dazu erkläre ich  wie man e-Funktionen spiegeln, verschieben, strecken und stauchen kann. Außerdem ihre Eigenschaften und die graphische Darstellung. Definition Exponentialfunktion Beispiele Graphen von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen Die Zahl e mit Hilfe der Zinseszinsrechnung entwickeln Der Wert von e Spiegelung, Verschiebung und Streckung der

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Wurzelgleichungen und Exponentialgleichungen

Exponentialfunktionen, Gleichungen, Mathematik, Sekundarstufe 1

In diesem Beitrag zeige ich anhand vieler Beispiele, wie man Wurzelgleichungen und Exponentialgleichungen löst. Außerdem gehe ich auf die Lösungsmenge ein und zeige Problemlösungen. Wurzelgleichungen: Defintion und Lösungsverfahren Problem: zu viele Lösungen Exponentialgleichungen lösen Wann eine Lösung mittels Exponentenvergleich möglich ist Was man nicht logarithmieren kann Wurzelgleichungen lösen Beispiel 1 Gleichungen, in denen Wurzelterme vorkommen,

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