Mathematik

Hier findest du alle unsere Beiträge zur Mathematik. Von Aufgaben über Lösungen bis hin zu verständlichen Erklärungen findest du hier alles, was du zur Vorbereitung auf Prüfungen brauchst.

Lösungsstrategieen bei linearen Funktionen

Ich habe ja in mehreren Beiträgen Lösungsstrategieen bei linearen Funktionen vorgestellt: lineare Funktionsgleichungen aufstellen und Schnittpunkt zweier Geraden. In diesem Beitrag stelle ich ein paar praktische Tipps hierzu vor. Ich stelle verschiedene Fälle vor, zum Beispiel sind mal die Steigung und ein Punkt bekannt, mal zwei Punkte. Wir wollen jeweils die Funktionsgleichung berechnen. Lineare Funktionen […]

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Lineare Funktionen kurz erklärt

Hier stelle ich einen Lernzettel zu linearen Funktionen zusammen. Dabei zeige ich, wie man die Achsenschnittpunkte, das Steigungsdreieck einer linearen Funktion berechnet und wie man Lineare Funktionen aus gegebenen Bedingungen aufstellt. Außerdem erkläre ich die Lage zweier Geraden zueinander. Schließlich stelle ich ein interaktives Programm zu Erkennen von Geraden zur Verfügung. Allgemeine Funktionsgleichung der Geraden

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Textaufgaben zu linearen Funktionen

Hier findet ihr Textaufgaben zu lineare Funktionen. Nachdem ich im vorherigen Beiträgen erklärt habe, wie man die Lage zweier Geraden berechnet, zeige ich hier anhand einiger Beispiele, wie man alltägliche Probleme mittels linearer Funktionen lösen kann. Tipps zum Vorgehen beim Lösen von Textaufgaben zu linearen Funktionen Wie bei allen Textaufgaben frage dich als erstes: Textaufgabe

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Lösungen zu den Aufgaben zum Schnittpunkt zweier Geraden zueinander mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zum Schnittpunkt zweier Geraden. Zuerst (im ersten Teil) sind die beiden Funktionsgleichungen bekannt. Danach (im zweiten Teil) eine Funktionsgleichung und ein Punkt der anderen Geraden. Dabei liegen die Geraden dann senkrecht zueinander. 1. Teil: Funktionsgleichungen bekannt Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden g1(x) und g2(x). Berechne den Schnittpunkt

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Aufgaben zu Schnittpunkt zweier Geraden

Hier findest du Aufgaben zum Schnittpunkt zweier Geraden. Zuerst sind die beiden Funktionsgleichungen bekannt. Danach eine Funktionsgleichung und ein Punkt der anderen Geraden. Dabei liegen die Geraden senkrecht zueinander. 1. Teil: Funktionsgleichungen bekannt Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden g1(x) und g2(x). Berechne den Schnittpunkt beider Geraden. Zeichne danach die Geraden in ein Koordinatensystem. Tipps

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Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen

In diesem Beitrag zeige ich anhand vieler Beispiele, wie man den Schnittpunkt zweier Geraden bei Gleichungssystemen mit einer, ohne und unendlich vielen Lösungen berechnet. Anschließend beweise ich, wie die Funktionen von rechtwinklig zueinander verlaufende Geraden zusammenhängen. Zuletzt gehe ich ausführlich auf die Anwendung linearer Gleichungssysteme in der Kostenrechnung ein. Schnittpunkt der Geraden bei Gleichungssystem mit

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Funktion und Umkehrfunktion

Im letzten Beitrag habe ich eine Einführung in die mathematischen Funktionen gegeben. Hier demonstriere ich zuerst die Begriffe Zuordnungsvorschrift  und inverse Funktion anhand eines anschaulichen Beispiels. Danach zeige ich die Besonderheiten bei der Umkehrfunktion der linearen, quadratischen und e-Funktion. Umkehrfunktionen Die Zuordnungsvorschrift f wird ausgedrückt durch die Funktionsgleichung. Wenn die Funktion eineindeutig, existiert auch eine eindeutige Zuordnung

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Funktionen in der Mathematik einfach erklärt

Im letzen Beitrag Relationen und Funktionen haben wir anhand eines Beispiels gesehen, dass eine Relation eine Paarmenge ist, bei der die Elemente aufgrund einer Zuordnungsvorschrift gebildet werden. Außerdem verstehen wir in der Mathematik unter einer Funktion eine zumindest eindeutige Relation. In diesem Beitrag stelle ich zuerst ein paar Beispiele und Übungen für Funktionen vor. Danach

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Relationen und Funktionen einfach erklärt

Bisher haben wir uns mit Gleichungen in der Form y = 3x beschäftigt. In diesem Beitrag gebe ich anhand eines Beispiels eine Einführung in mathematische Relationen und Funktionen. Zuerst definiere ich die beiden Begriffe und Produktmenge. Danach zeige ich, wie man Relationen im kartesischen Koordinatensystem darstellen kann. Anschließend erkläre ich anhand eines anschaulichen Beispiels die

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Exponentialgleichungen lösen mit e

In diesem Beitrag erkläre ich, wie man Exponentialgleichungen löst. Zuerst definiere ich den Begriff Exponentialgleichung und stelle Beispiele vor. Danach zeige ich Lösungsmethoden für Exponentialgleichungen: Lösung mittels Exponentenvergleich, Logarithmieren, Substitution. Schließlich stelle ich für alle Möglichkeiten Ausführliche Lösungsbeispiele vor. Definition Exponentialgleichung: Wenn in einer Gleichungen die Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz auftritt, nennt

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Aussagen und Aussageformen in der Mathematik

In diesem Beitrag führe ich in die Aussagelogik ein. Zuerst definiere ich die Begriffe Aussagen und Aussageformen in der Mathematik. Dazu gebe ich viele anschauliche Beispiele zu Bestimmungsgleichung und Wahrheitsgehalt einer Aussage. Im folgenden Beiträgen werde ich mich mit deren Verknüpfungen beschäftigen. Definition Aussagen In der Mathematik spricht man von Aussagen, wenn für einen Sachverhalt entschieden

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Lösungen zu Potenzen III Potenzbrüche vereinfachen mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zu Potenzen III mit Brüchen, Potenzbrüche vereinfachen. 1.  Vereinfache folgende Potenzbrüche: a) b) c) d) e) f) Lösungen: 1a) a) b) c) d) e) f)   2. Vereinfache! a) b) c) d) e) f) Ausführliche Lösungen: a) b) c) d) e) f)   3. Vereinfache! a) b)

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Aufgaben zu Potenzen II Potenzterme berechnen

Hier findest du Aufgaben zum Thema Potenzterme berechnen, addieren, subtrahieren und multiplizieren. Dabei gibt es auch Brüche. 1.Berechne folgende Potenzterme! a) b) c) d) e) f) 2.Berechne folgende Potenzterme! a) b) c)   3.Berechne folgende Potenzterme! a) b)   4.Berechne folgende Potenzterme! a) b) c) d)   5.Berechne folgende Potenzterme! a) b) c) d) e)

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Lösungen zu Potenzen II Potenzterme berechnen mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zum Thema Potenzterme berechnen, addieren, subtrahieren und multiplizieren. Dabei gibt es auch Brüche. 1.Berechne folgende Potenzterme! a) b) c) d) e) f) Ausführliche Lösungen a) b) c) d) e) f)   2.Berechne folgende Potenzterme a) b) c) Ausführliche Lösungen a) b) c) 3.Berechne folgende Potenzterme a) b) Ausführliche

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Lösungen der Aufgaben Lineare Funktionen IV mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben lineare Funktionen IV mit komplettem Lösungsweg. 1. Ermittele den Funktionsterm der linearen Funktion f(x), wenn gilt: a) b) c) Ausführliche Lösungen: a) b) c) 2. Zeige Lösung:   3. Zeige Lösung: 4. Eine Gerade durch P ( 2,5 | 0 ) schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.

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Lineare Funktionen Lösungen der Aufgaben III mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben Lineare Funktionen III. Bei diesen Lösungen zu den Aufgaben zu linearen Funktionen waren entweder zwei Punkte vorgegeben oder ein Punkt und die Steigung, du sollst dabei jeweils die Gleichung bestimmen. 1. Bestimme die Gleichung der Geraden g. a) b) c) d) e) f) g) h) Lösungen: a) b)

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Lineare Funktionen Lösungen der Aufgaben II mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben Lineare Funktionen II mit komplettem Lösungsweg. 1. Wähle aus Wähle aus nebenstehenden Schaubild die Gerade aus, die parallel zu g(x) durch den Punkt P( 2 | 2 ) verläuft. Bestimme die Funktionsgleichung dieser Geraden und begründe deine Wahl. 2. Der Punkt 3. Liegen die Punkt 4. Bestimme die

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Lösungen der Aufgaben zu Graphen von Exponentialfunktionen und e-Funktion mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Graphe von Exponentialfunktionen und e-Funktion. Dabei geht es darum e-Funktionen zu verschieben, spiegeln, die Form zu ändern. Außerdem geht es um Grenzwert, Nullstelle, Extremwert, Wendepunkt etc. Ermittele jeweils die Verschiebungen, Spiegelung und Formänderung der Grundfunktion ex. Zeichne den Funktionsgraphen und die Grundfunktion ex in ein geeignetes Koordinatensystem

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Aufgaben zu Graphen von Exponentialfunktionen und e-Funktion

Bei diesen Aufgaben geht es darum Graphen von Exponentialfunktionen und e-Funktion zu verschieben, spiegeln und die Form zu ändern. Zeichne jeden Funktionsgraphen und die Grundfunktion ex in ein geeignetes Koordinatensystem und berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse. Lese an dem Graphen ab: Grenzwerte und falls vorhanden Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte. Bemerkung: Berücksichtige nur die Funktionswerte,

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Die e-Funktion und Exponentialfunktionen

Ich erkläre was Exponentialfunktionen, die Zahl e und e-Funktionen sind. Dazu erkläre ich  wie man e-Funktionen spiegeln, verschieben, strecken und stauchen kann. Außerdem ihre Eigenschaften und die graphische Darstellung. Definition Exponentialfunktion Beispiele Graphen von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen Die Zahl e mit Hilfe der Zinseszinsrechnung entwickeln Der Wert von e Spiegelung, Verschiebung und Streckung der

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Wurzelgleichungen und Exponentialgleichungen

In diesem Beitrag zeige ich anhand vieler Beispiele, wie man Wurzelgleichungen und Exponentialgleichungen löst. Außerdem gehe ich auf die Lösungsmenge ein und zeige Problemlösungen. Wurzelgleichungen: Defintion und Lösungsverfahren Problem: zu viele Lösungen Exponentialgleichungen lösen Wann eine Lösung mittels Exponentenvergleich möglich ist Was man nicht logarithmieren kann Wurzelgleichungen lösen Beispiel 1 Gleichungen, in denen Wurzelterme vorkommen,

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Lineare Gleichungen mit 2 Gleichungen und 2 Variablen lösen

In diesem Beitrag erkläre ich anhand vieler Beispiele, wie man Lineare Gleichungen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen löst. Dazu gehören das Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, zeichnerisches Verfahren und das Einsetzverfahren. Lösungsschritte für das Additionsverfahren in 2 Varianten. Gleichsetzungsverfahren in 2 Varianten. Einsetzverfahren in 2 Varianten Zeichnerische Verfahren. Beispiele für geeignete Lösungsverfahren Gleichungssysteme ohne eindeutige Lösung und

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Einführung in das Horner-Schema

In diesem Beitrag erkläre ich zuerst, dass man mit dem Horner-Schema einfacher große Funktionswerte berechnen kann. Dann  stelle ich das allgemeine Schema für das Horner-Schema vor. Danach werde ich anhand eines anschaulichen Beispiels erklären, wie man mithilfe des Horner-Schemas die Wertetabelle für eine ganzrationale Funktion höherer Ordnung anlegt. Denn diese braucht man, um deren Graphen

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Einführung in die Polynomdivision

In diesem Beitrag führe ich in die Polynomdivision, indem ich sie mit schriftlichen Dividieren vergleiche. Anschließend erkläre ich anhand einiger Beispiele, wie man die Polynomdivision durchführt. Danach zeige, dass man statt der Polynomdivision auch das Horner-Schema einsetzen kann. Die Polynomdivision funktioniert ähnlich wie das schriftliche Dividieren. Zuerst zeige ich das Prinzip anhand eines Vergleich zwischen

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Lösungen der Aufgaben Funktionsgleichungen aufstellen mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zum Funktionsgleichungen bestimmen. Entweder ist ein Punkt und die Steigung gegeben oder zwei Punkte. Teil 1 : Die Steigung und ein Punkt sind vorgegeben. Eine Gerade hat jeweils die Steigung a1 und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den

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Aufgaben Funktionsgleichungen aufstellen

Hier findest du Aufgaben zum Thema Funktionsgleichungen bestimmen. Entweder ist ein Punkt und die Steigung gegeben oder zwei Punkte. Teil 1: Berechnung der Funktionsgleichung Eine Gerade hat die Steigung a1 und verläuft durch den Punkt P. Bestimme die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichne den Graphen! Tipps zum Vorgehen beim Aufstellen dieser Funktionsgleichungen: In die

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Polynomgleichungen einfach erklärt

In diesem Beitrag werde ich zuerst einfach erklären, was Polynomgleichungen sind. Um sie zu lösen, bringt man sie zuerst in die Nullform, auch Normalform genannt. Danach stelle ich anhand anschaulicher Beispiele die 5 Varianten vor: Polynomgleichung mit nur einer einzige Potenz der Variablen x, Polynomgleichung stellt eine quadratische Gleichung, biquadratische Gleichung, in der Polynomgleichung kommt

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Statistik Formelsammlung mit Beispielen

Hier findest du eine Statistik Formelsammlung mit Beispielen. Das arithmetische Mittel Mittelwert Median Spannweite Quartilsabstand Varianz und Standardabweichung Links zu Aufgaben Das arithmetische Mittel Arithmetisches Mittel einer Datenreihe Das arithmetischen Mittel berechnet man folgendermaßen aus einer Datenreihe: Hier findest du die Erklärungen, viele Beispiele und Links zu Aufgaben: Mittelwert-Median-Modalwert Arithmetisches Mittel aus einer Häufigkeitstabelle Das

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Zusammenfassung Statistik Mathe

Hier findest du eine Zusammenfassung der wichtigen Grundbegriffe aus der Statistik: Stichprobe, Urliste, Rohdaten, Erhebungsumfang Klasseneinteilung Häufigkeit und Häufigkeitsdichte im Histogramm Vergleich Säulendiagramm und Histogramm Median, Modalwert, Spannweite, Quartile und Quartilsabstand Varianz und Standardabweichung Links zu weiteren Beiträgen Stichprobe: Wird der Teil einer Gesamtheit befragt, dann spricht man bei der Datenerhebung von einer Stichprobe. Urliste:

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Spannweite, Varianz, Standardabweichung

In diesem Beitrag zeige ich zuerst anhand eines Beispiels, was die Streuung um den Mittelwert bedeutet.  Danach erkläre ich leicht verständlich wie man Spannweite, Varianz, Standardabweichung, Quartile, Quartilsabstand und Boxplot berechnet. Dazu stelle ich viele Beispiele vor. Im letzten Beitrag Mittelwert, Median und Modalwert hatten wir uns mit der Mitte einer Datenreihe beschäftigt. Wenn der

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Modalwert, Mittelwert und Median

In diesem Beitrag erkläre ich leicht verständlich, wie man Median, Modalwert und das arithmetisches Mittel einer Häufigkeitstabelle berechnet. Dazu stelle ich viele Beispiele vor. In den bisherigen Beiträgen zur Statistik ging es um Datenerhebung und Darstellung. Im folgenden werden wir sehen, mit welchen mathematischen Methoden man die Daten analysieren kann. Als erstes geht es darum,

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Merkmalsarten und Merkmalsskalen

Im ersten Beitrag zu Datenerhebung und Darstellung in der Statistik hatten wir gesehen, was Merkmale sind: Eigenschaften der Objekte, z.B. Alter. In diesem Beitrag erkläre ich, dass Merkmale in verschiedenen Ausprägungen vorkommen können, zum Beispiel 13 Jahre. Mit anderen Worten: Merkmale haben Merkmalsausprägungen. Dann werde ich Merkmalsarten definieren. Anschließend werde ich Beispiele für die verschiedenen

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Statistik von der Urliste zur Grafik

In diesem Beitrag zeige ich anhand eines anschaulichen Beispiels, wie man in der Statistik aus der Urliste eine Grafik erstellt. Danach stelle ich die unterschiedlichen Arten der grafischen Darstellung in der Statistik gegenüber: Kreisdiagramm, Punktdiagramm, Liniendiagramm, Säulendiagramm, Balkendiagramm und klassierte Verteilung. Schließlich werde ich den Einfluss der Darstellung auf die Interpretation der Daten erklären. Frei

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Säulendiagramm, Histogramm und Klassenbreite

Im letzten Beitrag haben wir uns mit dem Kreisdiagramm als Darstellungsform in der Statistik beschäftigt. Hier werde ich zuerst die gleiche und unterschiedliche Klassenbreite in der Häufigkeitstabelle erklären. Danach die unterschiedliche Säulenbreite in der graphischen Darstellung. Schließlich werde ich Säulendiagramm und Histogramm vergleichen. Dies alles erläutere ich anhand anschaulicher Beispiele. Gleiche und unterschiedliche Klassenbreite in

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Relative Häufigkeit und Kreisdiagramm

Wie wir den vorherigen Beiträgen Datenerhebung und Darstellung und Von der Urliste zur Grafik gesehen haben, gibt es verschiede Darstellungsarten in der Statistik. In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit der relativen Häufigkeit und dem Kreisdiagramm. Anhand eines anschaulichen Beispiels erkläre ich zuerst das Berechnungsschema für die relative Häufigkeit. Danach zeige ich das Zeichnen eines

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Datenerhebung und Darstellung in der Statistik

In der Statistik werden Daten erhoben, mit anderen Worten Datenerhebung. Damit man einen Überblick über große Datenmengen bekommt, kann man sie mit verschiedenen Methoden darstellen und analysieren. In diesem Beitrag gebe ich eine Einführung in die beschreibende Statistik. Hier geht es um das Sammeln und darstellen der Daten. Zuerst definiere ich die Begriffe Stichprobe, Urliste,

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