Hier findest du alle unsere Beiträge zur Mathematik. Von Aufgaben über Lösungen bis hin zu verständlichen Erklärungen findest du hier alles, was du zur Vorbereitung auf Prüfungen brauchst.
Nachdem wir uns gründlich mit linearen Funktionen beschäftigt haben, führe ich in diesem Beitrag in quadratische Funktionen ein. Bevor es in die Theorie geht, stelle ich als erstes ein praktische Beispiel vor. Für dieses zeige ich anschließend die Funktionsgleichung, die Wertetabelle und den Graphen. Dabei wird deutlich, dass es sich um eine quadratische Funktion handelt. […]
Formfaktor, Verschiebungen und Scheitelpunkt Read More »
Ich habe ja in mehreren Beiträgen Lösungsstrategieen bei linearen Funktionen vorgestellt: lineare Funktionsgleichungen aufstellen und Schnittpunkt zweier Geraden. In diesem Beitrag stelle ich ein paar praktische Tipps hierzu vor. Ich stelle verschiedene Fälle vor, zum Beispiel sind mal die Steigung und ein Punkt bekannt, mal zwei Punkte. Wir wollen jeweils die Funktionsgleichung berechnen. Lineare Funktionen
Lösungsstrategieen bei linearen Funktionen Read More »
Hier stelle ich einen Lernzettel zu linearen Funktionen zusammen. Dabei zeige ich, wie man die Achsenschnittpunkte, das Steigungsdreieck einer linearen Funktion berechnet und wie man Lineare Funktionen aus gegebenen Bedingungen aufstellt. Außerdem erkläre ich die Lage zweier Geraden zueinander. Schließlich stelle ich ein interaktives Programm zu Erkennen von Geraden zur Verfügung. Allgemeine Funktionsgleichung der Geraden
Lineare Funktionen kurz erklärt Read More »
Hier findet ihr Textaufgaben zu lineare Funktionen. Nachdem ich im vorherigen Beiträgen erklärt habe, wie man die Lage zweier Geraden berechnet, zeige ich hier anhand einiger Beispiele, wie man alltägliche Probleme mittels linearer Funktionen lösen kann. Tipps zum Vorgehen beim Lösen von Textaufgaben zu linearen Funktionen Wie bei allen Textaufgaben frage dich als erstes: Textaufgabe
Textaufgaben zu linearen Funktionen Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zum Schnittpunkt zweier Geraden. Zuerst (im ersten Teil) sind die beiden Funktionsgleichungen bekannt. Danach (im zweiten Teil) eine Funktionsgleichung und ein Punkt der anderen Geraden. Dabei liegen die Geraden dann senkrecht zueinander. 1. Teil: Funktionsgleichungen bekannt Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden g1(x) und g2(x). Berechne den Schnittpunkt
Hier findest du Aufgaben zum Schnittpunkt zweier Geraden. Zuerst sind die beiden Funktionsgleichungen bekannt. Danach eine Funktionsgleichung und ein Punkt der anderen Geraden. Dabei liegen die Geraden senkrecht zueinander. 1. Teil: Funktionsgleichungen bekannt Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden g1(x) und g2(x). Berechne den Schnittpunkt beider Geraden. Zeichne danach die Geraden in ein Koordinatensystem. Tipps
Aufgaben zu Schnittpunkt zweier Geraden Read More »
In diesem Beitrag zeige ich anhand vieler Beispiele, wie man den Schnittpunkt zweier Geraden bei Gleichungssystemen mit einer, ohne und unendlich vielen Lösungen berechnet. Anschließend beweise ich, wie die Funktionen von rechtwinklig zueinander verlaufende Geraden zusammenhängen. Zuletzt gehe ich ausführlich auf die Anwendung linearer Gleichungssysteme in der Kostenrechnung ein. Schnittpunkt der Geraden bei Gleichungssystem mit
Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen Read More »
Im letzten Beitrag habe ich eine Einführung in die mathematischen Funktionen gegeben. Hier demonstriere ich zuerst die Begriffe Zuordnungsvorschrift und inverse Funktion anhand eines anschaulichen Beispiels. Danach zeige ich die Besonderheiten bei der Umkehrfunktion der linearen, quadratischen und e-Funktion. Umkehrfunktionen Die Zuordnungsvorschrift f wird ausgedrückt durch die Funktionsgleichung. Wenn die Funktion eineindeutig, existiert auch eine eindeutige Zuordnung
Funktion und Umkehrfunktion Read More »
Im letzen Beitrag Relationen und Funktionen haben wir anhand eines Beispiels gesehen, dass eine Relation eine Paarmenge ist, bei der die Elemente aufgrund einer Zuordnungsvorschrift gebildet werden. Außerdem verstehen wir in der Mathematik unter einer Funktion eine zumindest eindeutige Relation. In diesem Beitrag stelle ich zuerst ein paar Beispiele und Übungen für Funktionen vor. Danach
Funktionen in der Mathematik einfach erklärt Read More »
Bisher haben wir uns mit Gleichungen in der Form y = 3x beschäftigt. In diesem Beitrag gebe ich anhand eines Beispiels eine Einführung in mathematische Relationen und Funktionen. Zuerst definiere ich die beiden Begriffe und Produktmenge. Danach zeige ich, wie man Relationen im kartesischen Koordinatensystem darstellen kann. Anschließend erkläre ich anhand eines anschaulichen Beispiels die
Relationen und Funktionen einfach erklärt Read More »
In diesem Beitrag erkläre ich, wie man Exponentialgleichungen löst. Zuerst definiere ich den Begriff Exponentialgleichung und stelle Beispiele vor. Danach zeige ich Lösungsmethoden für Exponentialgleichungen: Lösung mittels Exponentenvergleich, Logarithmieren, Substitution. Schließlich stelle ich für alle Möglichkeiten Ausführliche Lösungsbeispiele vor. Definition Exponentialgleichung: Wenn in einer Gleichungen die Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz auftritt, nennt
Exponentialgleichungen lösen mit e Read More »
In diesem Beitrag führe ich in die Aussagelogik ein. Zuerst definiere ich die Begriffe Aussagen und Aussageformen in der Mathematik. Dazu gebe ich viele anschauliche Beispiele zu Bestimmungsgleichung und Wahrheitsgehalt einer Aussage. Im folgenden Beiträgen werde ich mich mit deren Verknüpfungen beschäftigen. Definition Aussagen In der Mathematik spricht man von Aussagen, wenn für einen Sachverhalt entschieden
Aussagen und Aussageformen in der Mathematik Read More »
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zu Potenzen III mit Brüchen, Potenzbrüche vereinfachen. 1. Vereinfache folgende Potenzbrüche: a) b) c) d) e) f) Lösungen: 1a) a) b) c) d) e) f) 2. Vereinfache! a) b) c) d) e) f) Ausführliche Lösungen: a) b) c) d) e) f) 3. Vereinfache! a) b)
Lösungen zu Potenzen III Potenzbrüche vereinfachen mit komplettem Lösungsweg Read More »
Hier findest du die Aufgaben zu Potenzen III mit Brüchen, Potenzbrüche vereinfachen. Vereinfache folgende Potenzbrüche! Beachte dabei die binomischen Formeln! 1. Vereinfach! a) b) c) d) e) f) 2. Vereinfache! a) b) c) d) e) f) 3. Vereinfache! a) b) c) d) e) f) 4. Vereinfache! a) b) c) d) e) f) 5. Vereinfache!
Aufgaben: Potenzbrüche vereinfachen III Read More »
Hier findest du Aufgaben zum Thema Potenzterme berechnen, addieren, subtrahieren und multiplizieren. Dabei gibt es auch Brüche. 1.Berechne folgende Potenzterme! a) b) c) d) e) f) 2.Berechne folgende Potenzterme! a) b) c) 3.Berechne folgende Potenzterme! a) b) 4.Berechne folgende Potenzterme! a) b) c) d) 5.Berechne folgende Potenzterme! a) b) c) d) e)
Aufgaben zu Potenzen II Potenzterme berechnen Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zum Thema Potenzterme berechnen, addieren, subtrahieren und multiplizieren. Dabei gibt es auch Brüche. 1.Berechne folgende Potenzterme! a) b) c) d) e) f) Ausführliche Lösungen a) b) c) d) e) f) 2.Berechne folgende Potenzterme a) b) c) Ausführliche Lösungen a) b) c) 3.Berechne folgende Potenzterme a) b) Ausführliche
Lösungen zu Potenzen II Potenzterme berechnen mit komplettem Lösungsweg Read More »
Hier findest du die Aufgaben zu linearen Funktionen IV, diesmal geht es darum, Schnittpunkt zu bestimmen. 1. Ermittele den Funktionsterm der linearen Funktion f(x), wenn gilt: a) f(1) = 7; f(-1) = 3 b) c) 2. Zeige 3. Zeige 4. Eine Gerade durch den Punkt P ( 2,5 | 0 ) schließt mit den Koordinatenachsen
Lineare Funktionen Aufgaben IV Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben lineare Funktionen IV mit komplettem Lösungsweg. 1. Ermittele den Funktionsterm der linearen Funktion f(x), wenn gilt: a) b) c) Ausführliche Lösungen: a) b) c) 2. Zeige Lösung: 3. Zeige Lösung: 4. Eine Gerade durch P ( 2,5 | 0 ) schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
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Bei diesen Aufgaben zu linearen Funktionen sind entweder zwei Punkte vorgegeben oder ein Punkt und die Steigung, du sollst dabei jeweils die Gleichung bestimmen. 1. Bestimme die Gleichung der Geraden g! a) b) c) d) e) f) g) h) 2. Bestimme die Gleichungen 3. Eine Gerade g mit der linearen Funktion f(x) verläuft durch die
Lineare Funktionen Aufgaben III Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben Lineare Funktionen III. Bei diesen Lösungen zu den Aufgaben zu linearen Funktionen waren entweder zwei Punkte vorgegeben oder ein Punkt und die Steigung, du sollst dabei jeweils die Gleichung bestimmen. 1. Bestimme die Gleichung der Geraden g. a) b) c) d) e) f) g) h) Lösungen: a) b)
Lineare Funktionen Lösungen der Aufgaben III mit komplettem Lösungsweg Read More »
Hier findest du die Aufgaben zu Lineare Funktionen II. Bei diesen Aufgaben zu linearen Funktionen geht es z. B. Funktionsterme in einer Abbildung zu bestimmen. 1. Wähle aus Wähle aus nebenstehenden Schaubild die Gerade aus, die parallel zu g(x) durch den Punkt P( 2 | 2 ) verläuft. Bestimme die Funktionsgleichung dieser Geraden und begründe
Lineare Funktionen Aufgaben II Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben Lineare Funktionen II mit komplettem Lösungsweg. 1. Wähle aus Wähle aus nebenstehenden Schaubild die Gerade aus, die parallel zu g(x) durch den Punkt P( 2 | 2 ) verläuft. Bestimme die Funktionsgleichung dieser Geraden und begründe deine Wahl. 2. Der Punkt 3. Liegen die Punkt 4. Bestimme die
Lineare Funktionen Lösungen der Aufgaben II mit komplettem Lösungsweg Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Graphe von Exponentialfunktionen und e-Funktion. Dabei geht es darum e-Funktionen zu verschieben, spiegeln, die Form zu ändern. Außerdem geht es um Grenzwert, Nullstelle, Extremwert, Wendepunkt etc. Ermittele jeweils die Verschiebungen, Spiegelung und Formänderung der Grundfunktion ex. Zeichne den Funktionsgraphen und die Grundfunktion ex in ein geeignetes Koordinatensystem
Bei diesen Aufgaben geht es darum Graphen von Exponentialfunktionen und e-Funktion zu verschieben, spiegeln und die Form zu ändern. Zeichne jeden Funktionsgraphen und die Grundfunktion ex in ein geeignetes Koordinatensystem und berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse. Lese an dem Graphen ab: Grenzwerte und falls vorhanden Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte. Bemerkung: Berücksichtige nur die Funktionswerte,
Aufgaben zu Graphen von Exponentialfunktionen und e-Funktion Read More »
Ich erkläre was Exponentialfunktionen, die Zahl e und e-Funktionen sind. Dazu erkläre ich wie man e-Funktionen spiegeln, verschieben, strecken und stauchen kann. Außerdem ihre Eigenschaften und die graphische Darstellung. Definition Exponentialfunktion Beispiele Graphen von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen Die Zahl e mit Hilfe der Zinseszinsrechnung entwickeln Der Wert von e Spiegelung, Verschiebung und Streckung der
Die e-Funktion und Exponentialfunktionen Read More »
In diesem Beitrag zeige ich anhand vieler Beispiele, wie man Wurzelgleichungen und Exponentialgleichungen löst. Außerdem gehe ich auf die Lösungsmenge ein und zeige Problemlösungen. Wurzelgleichungen: Defintion und Lösungsverfahren Problem: zu viele Lösungen Exponentialgleichungen lösen Wann eine Lösung mittels Exponentenvergleich möglich ist Was man nicht logarithmieren kann Wurzelgleichungen lösen Beispiel 1 Gleichungen, in denen Wurzelterme vorkommen,
Wurzelgleichungen und Exponentialgleichungen Read More »
In diesem Beitrag erkläre ich anhand vieler Beispiele, wie man Lineare Gleichungen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen lösen kann. Dazu gehören das Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, zeichnerisches Verfahren und das Einsetzverfahren. Schließlich verlinke ich Aufgaben. Lösungsschritte für das Additionsverfahren in 2 Varianten. Gleichsetzungsverfahren in 2 Varianten. Einsetzverfahren in 2 Varianten Zeichnerische Verfahren. Beispiele für geeignete Lösungsverfahren
Lineare Gleichungen mit 2 Gleichungen und 2 Variablen lösen Read More »
In diesem Beitrag erkläre ich zuerst, dass man mit dem Horner-Schema einfacher große Funktionswerte berechnen kann. Dann stelle ich das allgemeine Schema für das Horner-Schema vor. Danach werde ich anhand eines anschaulichen Beispiels erklären, wie man mithilfe des Horner-Schemas die Wertetabelle für eine ganzrationale Funktion höherer Ordnung anlegt. Denn diese braucht man, um deren Graphen
Einführung in das Horner-Schema Read More »
In diesem Beitrag führe ich in die Polynomdivision, indem ich sie mit schriftlichen Dividieren vergleiche. Anschließend erkläre ich anhand einiger Beispiele, wie man die Polynomdivision durchführt. Danach zeige, dass man statt der Polynomdivision auch das Horner-Schema einsetzen kann. Die Polynomdivision funktioniert ähnlich wie das schriftliche Dividieren. Zuerst zeige ich das Prinzip anhand eines Vergleich zwischen
Einführung in die Polynomdivision Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zum Funktionsgleichungen bestimmen. Entweder ist ein Punkt und die Steigung gegeben oder zwei Punkte. Teil 1 : Die Steigung und ein Punkt sind vorgegeben. Eine Gerade hat jeweils die Steigung a1 und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den
Lösungen der Aufgaben Funktionsgleichungen aufstellen mit komplettem Lösungsweg Read More »
Hier findest du Aufgaben zum Thema Funktionsgleichungen bestimmen. Entweder ist ein Punkt und die Steigung gegeben oder zwei Punkte. Teil 1: Berechnung der Funktionsgleichung Eine Gerade hat die Steigung a1 und verläuft durch den Punkt P. Bestimme die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichne den Graphen! Tipps zum Vorgehen beim Aufstellen dieser Funktionsgleichungen: In die
Aufgaben Funktionsgleichungen aufstellen Read More »
In diesem Beitrag werde ich zuerst einfach erklären, was Polynomgleichungen sind. Um sie zu lösen, bringt man sie zuerst in die Nullform, auch Normalform genannt. Danach stelle ich anhand anschaulicher Beispiele die 5 Varianten vor: Polynomgleichung mit nur einer einzige Potenz der Variablen x, Polynomgleichung stellt eine quadratische Gleichung, biquadratische Gleichung, in der Polynomgleichung kommt
Polynomgleichungen einfach erklärt Read More »
Hier findest du eine Statistik Formelsammlung mit Beispielen. Das arithmetische Mittel Mittelwert Median Spannweite Quartilsabstand Varianz und Standardabweichung Links zu Aufgaben Das arithmetische Mittel Arithmetisches Mittel einer Datenreihe Das arithmetischen Mittel berechnet man folgendermaßen aus einer Datenreihe: Hier findest du die Erklärungen, viele Beispiele und Links zu Aufgaben: Mittelwert-Median-Modalwert Arithmetisches Mittel aus einer Häufigkeitstabelle Das
Statistik Formelsammlung mit Beispielen Read More »
Hier findest du eine Zusammenfassung der wichtigen Grundbegriffe aus der Statistik, eine Statistik Formelsammlung: Stichprobe, Urliste, Rohdaten, Erhebungsumfang Klasseneinteilung Häufigkeit und Häufigkeitsdichte im Histogramm Vergleich Säulendiagramm und Histogramm Median, Modalwert, Spannweite, Quartile und Quartilsabstand Varianz und Standardabweichung Links zu weiteren Beiträgen Stichprobe: Wird der Teil einer Gesamtheit befragt, dann spricht man bei der Datenerhebung von
Zusammenfassung Statistik Mathe Read More »
In diesem Beitrag zeige ich zuerst anhand eines Beispiels, was die Streuung um den Mittelwert bedeutet. Im letzten Beitrag Mittelwert, Median und Modalwert hatten wir uns mit der Mitte einer Datenreihe beschäftigt. Wenn der Mittelwert zweier Gruppen gleich groß ist, können die Einzelwerte sehr unterschiedlich verteilt sein. Mit anderen Worten: dies ist eine Streuung. Dies
Spannweite, Varianz, Standardabweichung Read More »
In diesem Beitrag erkläre ich leicht verständlich, welche Daten in der Mitte einer Datenreihe liegen. Man nennt diese auch Lagemaße. Zuerst geht es um den Unterschied zwischen dem arithmetischen Mittel einer Datenreihe und einer Häufigkeitstabelle. Danach um Median und Modalwert Dazu stelle ich die Formeln vor und gebe viele Beispiele. Schließlich vergleiche ich Mittelwert, Median
Modalwert, Mittelwert und Median Read More »
Im ersten Beitrag zu Datenerhebung und Darstellung in der Statistik hatten wir gesehen, was Merkmale sind: Eigenschaften der Objekte, z.B. Alter. In diesem Beitrag erkläre ich, dass Merkmale in verschiedenen Ausprägungen vorkommen können, zum Beispiel 13 Jahre. Mit anderen Worten: Merkmale haben Merkmalsausprägungen. Dann werde ich Merkmalsarten definieren. Anschließend werde ich Beispiele für die verschiedenen
Merkmalsarten und Merkmalsskalen Read More »
In diesem Beitrag zeige ich anhand eines anschaulichen Beispiels, wie man in der Statistik aus der Urliste eine Grafik erstellt. Danach stelle ich die unterschiedlichen Arten der grafischen Darstellung in der Statistik gegenüber: Kreisdiagramm, Punktdiagramm, Liniendiagramm, Säulendiagramm, Balkendiagramm und klassierte Verteilung. Schließlich werde ich den Einfluss der Darstellung auf die Interpretation der Daten erklären. Frei
Statistik von der Urliste zur Grafik Read More »
Im letzten Beitrag haben wir uns mit dem Kreisdiagramm beschäftigt. Hier werde ich zuerst die gleiche und unterschiedliche Klassenbreite in der Häufigkeitstabelle erklären. Danach die unterschiedliche Säulenbreite in der graphischen Darstellung. Schließlich werde ich Säulendiagramm und Histogramm vergleichen. Dies alles erläutere ich anhand anschaulicher Beispiele. Gleiche und unterschiedliche Klassenbreite in der Häufigkeitstabelle Unterschiedliche Säulenbreite in
Säulendiagramm, Histogramm und Klassenbreite Read More »
Wie wir den vorherigen Beiträgen Datenerhebung und Darstellung und Von der Urliste zur Grafik gesehen haben, gibt es verschiede Darstellungsarten in der Statistik. In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit der relativen Häufigkeit und dem Kreisdiagramm. Dazu stelle ich Beispiele vor und erkläre, wie man vorgehen sollte. Beispiel Häufigkeitstabelle Berechnungsschema für die relative Häufigkeit Zeichnen
Relative Häufigkeit und Kreisdiagramm Read More »