Hier findest du alle unsere Beiträge zur Mathematik. Von Aufgaben über Lösungen bis hin zu verständlichen Erklärungen findest du hier alles, was du zur Vorbereitung auf Prüfungen brauchst.
Im ersten Beitrag zu Datenerhebung und Darstellung in der Statistik hatten wir gesehen, was Merkmale sind: Eigenschaften der Objekte, z.B. Alter. In diesem Beitrag erkläre ich, dass Merkmale in verschiedenen Ausprägungen vorkommen können, zum Beispiel 13 Jahre. Mit anderen Worten: Merkmale haben Merkmalsausprägungen. Dann werde ich Merkmalsarten definieren. Anschließend werde ich Beispiele für die verschiedenen […]
Merkmalsarten und Merkmalsskalen Weiterlesen »
In diesem Beitrag zeige ich anhand eines anschaulichen Beispiels, wie man in der Statistik aus der Urliste eine Grafik erstellt. Danach stelle ich die unterschiedlichen Arten der grafischen Darstellung in der Statistik gegenüber: Kreisdiagramm, Punktdiagramm, Liniendiagramm, Säulendiagramm, Balkendiagramm und klassierte Verteilung. Schließlich werde ich den Einfluss der Darstellung auf die Interpretation der Daten erklären. Frei
Statistik von der Urliste zur Grafik Weiterlesen »
Im letzten Beitrag haben wir uns mit dem Kreisdiagramm beschäftigt. Hier werde ich zuerst die gleiche und unterschiedliche Klassenbreite in der Häufigkeitstabelle erklären. Danach die unterschiedliche Säulenbreite in der graphischen Darstellung. Schließlich werde ich Säulendiagramm und Histogramm vergleichen. Dies alles erläutere ich anhand anschaulicher Beispiele. Gleiche und unterschiedliche Klassenbreite in der Häufigkeitstabelle Unterschiedliche Säulenbreite in
Säulendiagramm, Histogramm und Klassenbreite Weiterlesen »
Wie wir den vorherigen Beiträgen Datenerhebung und Darstellung und Von der Urliste zur Grafik gesehen haben, gibt es verschiede Darstellungsarten in der Statistik. In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit der relativen Häufigkeit und dem Kreisdiagramm. Dazu stelle ich Beispiele vor und erkläre, wie man vorgehen sollte. Beispiel Häufigkeitstabelle Berechnungsschema für die relative Häufigkeit Zeichnen
Relative Häufigkeit und Kreisdiagramm Weiterlesen »
In der Statistik werden Daten erhoben, aufbereitet und analysiert, mit anderen Worten Datenerhebung. Damit man einen Überblick über große Datenmengen bekommt, kann man sie mit verschiedenen Methoden darstellen und analysieren. In diesem Beitrag gebe ich eine Einführung in die beschreibende Statistik. Dabei geht es um das Sammeln und darstellen der Daten. Zuerst definiere ich die
Datenerhebung und Darstellung in der Statistik Weiterlesen »
Tipps: Wie gehe ich beim Lösen von Bruchgleichungen vor? Bei diesen Aufgaben zu Lineare Gleichungen mit Brüchen und Klammern muss man die Gleichung zuerst auf den Hauptnenner bringen. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der vorhandenen Nenner. Die Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner bewirkt, dass die Brüche verschwinden. Nun ist die
Aufgaben zu Lineare Gleichungen II mit Brüchen und Klammern Weiterlesen »
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben mit linearen Gleichungen mit Brüchen und Klammern, mit komplettem Lösungsweg. 1. Bestimme die Lösungsmenge! a) 1. b) 1. c) 1. d) 2. Bestimme die Lösungsmenge! a) 2. b) 2. c) Die Aufgabe kannst du dir in diesem Video Lineare Gleichung mit Brüchen lösen ansehen. 2.
In diesem Beitrag erkläre ich mehrere, einfache Wege, Bruchgleichungen zu lösen. Dazu werde ich viele Beispiele vorstellen. Bevor man Bruchgleichungen löst, muss man immer erst die Definitionsmenge bestimmen. Anschließend werde ich den Trick mit der Kehrwertbildung und mit der Multiplikation über Kreuz vorstellen. Schließlich werde ich einen simplen Beweis für die Gültigkeit der Kehrwertbildung zeigen.
Bruchgleichungen lösen Weiterlesen »
Hier findest du eine leicht verständliche Einführung in Quadratische Gleichungen und die p-q-Formel. Bis jetzt haben wir uns mit Gleichungen beschäftigt, bei denen die Variable x nur in der 1. Potenz steht, also lineare Gleichungen. In diesem Beitrag gebe ich eine Einführung in das Lösen quadratischer Gleichungen, also in denen x potenziert wird, siehe Potenzen,
Einführung in Quadratische Gleichungen und p-q-Formel Weiterlesen »
Hier findest du Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, außerdem Hilfe zu deren Lösungen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, Aufgaben mit quadratischen Gleichungen zu lösen, deshalb stelle ich hier erst einmal Beispiele vor. Hilfe zum Lösen einer quadratischen Gleichung 1. Lösen einer Aufgabe mit quadratischen Gleichung durch einfaches Wurzelziehen. 2. Lösen einer Aufgabe mit quadratischen Gleichung durch Ausklammern
Aufgaben zu quadratischen Gleichungen Weiterlesen »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu quadratischen Gleichungen mit komplettem Lösungsweg. Es gibt mehrere Möglichkeiten, Aufgaben mit quadratischen Gleichungen zu lösen, deshalb habe ich bei den Aufgaben ein paar Beispiele vorgestellt, Löse die quadratische Gleichung. Benutze dazu das jeweils bestgeeignete Verfahren und mache die Probe durch Einsetzen. 1. Lösung der quadratischen Gleichung durch
Lösungen der Aufgaben zu quadratischen Gleichungen mit komplettem Lösungsweg Weiterlesen »
In diesem Beitrag erkläre ich alles Wichtige zu Gleichungen und Ungleichungen. Zuerst definiere ich die Begriffe Aussagen, Aussageformen, Lösungsmenge, Erfüllungsmenge, Grundmenge, Definitionsmenge, Äquivalenzumformung. Dazu stelle ich viele Beispiele vor. Aussagen und Aussageformen Lösungsmenge,Erfüllungsmenge Grundmenge Definitionsmenge Äquivalenzumformung Gleichungen und Ungleichungen sind Aussagen Zahlengleichungen- oder Ungleichungen mit Zahlen sind Aussagen, zum Beispiel: 3 + 7 = 2 +
Gleichungen und Ungleichungen als Aussageform Weiterlesen »
Hier findest du Mathe Aufgaben, in denen du Logarithmen zuerst berechnen musst. Danach musst du die Zahl zu einem Logarithmus finden. 1. Berechne die folgenden Logarithmen: a) Diese Aufgabe kannst du dir in diesem shorts Logarithmus berechnen ansehen.b)c)d)e)f) 2. Berechne die folgenden Logarithmen: a)b)c)d)e)f) 3. Berechne die folgenden Logarithmen: a)b)c)d)e)f) 4. Berechne die folgenden Logarithmen:
Aufgaben zu Logarithmen I berechnen und logarithmieren Weiterlesen »
Hier findest du die Lösungen der Mathe Aufgaben, in denen du Logarithmen zuerst berechnen musst. Danach musst du die Zahl zu einem Logarithmus finden. 1. Berechne die folgenden Logarithmen: a) Diese Aufgabe kannst du dir in diesem shorts Logarithmus berechnen ansehen. b)c)d)e)f) 2. Berechne die folgenden Logarithmen: a)b)c)d)e)f) 3. Berechne die folgenden Logarithmen: a)b)c)d)e)f)
Lösungen zu Aufgaben zu Logarithmen I mit komplettem Lösungsweg Weiterlesen »
In diesem Beispiel erkläre ich, was Logarithmen und Logarithmengesetze sind. Zuerst erkläre ich anhand eines Beispiel, wofür man Logartihmen baucht. Danach definiere ich Logarithmen und stelle Beispiele vor. Dann stelle ich Logarithmen zu gebräuchlichen Basen und Sonderfälle vor. Anschließend stelle ich die Logarithmengesetze vor: Logarithmus eines Produktes eines Quotienten und einer Potenz. Danach zeige ich,
Logarithmen und Logarithmengesetze Weiterlesen »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu linearen Gleichungen I, bestimme jeweils die Lösungsmenge! 1.Bestimme die Lösungsmenge a) 1b) 1c) 1d) Diese Aufgabe kannst du dir in diesem shorts Einfache lineare Gleichungen lösen anschauen. 2. Bestimme die Lösungsmenge a) 2b) 2c) 2d) 3. Bestimme die Lösungsmenge a) 3b) 3c) 3d) 4. Bestimme die
Lösungen zu den Aufgaben zu linearen Gleichungen I mit komplettem Lösungsweg Weiterlesen »
Hier findest du die Aufgaben zu lineare Gleichungen I. Bestimme jeweils die Lösungsmenge dieser Aufgaben zu linearen Gleichungen! Wenn ihr gut in Mathe sein wollt, rechnet viele Aufgaben! 1. Bestimme die Lösungsmenge a) 1b) 1c) 1d) Diese Aufgabe kannst du dir in diesem shorts Einfache lineare Gleichungen lösen anschauen. 2. Bestimme die Lösungsmenge a) 2b) 2c)
Aufgaben zu lineare Gleichungen I Weiterlesen »
In diesem Beitrag werde ich zuerst erklären, was Sachaufgaben in der Mathematik sind. Danach werde ich die Schritte aufzählen, die man bei der Lösung von Sachaufgaben durchführen sollte. Anschließend werde ich viele Beispiele für lineare Gleichungen zu Sachaufgaben vorstellen. Am Schluß verlinke ich Aufgaben. Was sind Sachaufgaben? Tipps zum Vorgehen in 6 Schritten 1.Beispiel: Eine
Lineare Gleichungen zu Sachaufgaben Weiterlesen »
In diesem Beitrag erkläre ich als erstes, was lineare Gleichungen sind. Dann definiere ich Lösungsmenge, Definitionsmenge und Grundmenge. Anschließend zeige ich anhand vieler Beispiele, wie man mit der Äquivalenzumformung arbeitet. Dann stelle ich Gleichungen ohne und mit unendlich vielen Lösungen vor. Schließlich gebe ich Tipps für Anfänger und Fortgeschrittene. Was ist eine Gleichung? Definitionen: Lösungsmenge,
Lineare Gleichungen einfach erklärt Weiterlesen »
Hier findest du die Lösungen zu Potenzen vereinfachen I mit komplettem Lösungsweg. Zuerst die Lösungen der Aufgaben, in denen Potenzen mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfacht werden sollen. Am Schluss Lösungen zu Sachaufgaben aus dem Alltag. 1. Vereinfache folgende Potenzen mit Hilfe der Potenzgeseze! Die ersten beiden Aufgaben kannst du dir in diesem Shorts Potenzen vereinfachen
Lösungen zu Potenzen vereinfachen mit komplettem Lösungsweg Weiterlesen »
Hier findest du zuerst Aufgaben, in denen Potenzen mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfacht werden sollen. Am Schluss gibt es ein paar Sachaufgaben aus dem Alltag. 1. Vereinfache folgende Potenzen mit Hilfe der Potenzgesetze Die ersten beiden Aufgaben kannst du dir in diesem Shorts Potenzen vereinfachen ansehen. 2. Vereinfache folgende Potenzen mit Hilfe der Potenzgesetze! a)
Aufgaben zu Potenzen I Potenzen vereinfachen Weiterlesen »
In diesem Beitrag gebe ich eine Übersicht über die Rechengesetze mit Wurzeln und Potenzen. Am Schluss stelle ich ein paar Tips und Tricks bei mBerechnungen mit Wurzeln vor. Potenz Definition Potenzgesetze Erweiterte Potenzdefinition Multiplikation und Division von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten Potenzieren und Radizieren von Potenzen Zusammenfassung der Potenzgesetze Tips und Tricks
Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze Weiterlesen »
In diesem Beitrag erkläre ich die Symmetrie und dem Verlauf ganzrationaler Funktionen. Ganzrationale Funktionen n-ten Grades Eine Funktion f(x) mitheißt ganzrationale Funktion n-ten grades.Die Zahlen heißen Koeffizienten. Ganzrationale Funktionen entstehen durch Zusammensetzen von Potenzfunktionen. Rechner für ganzrationale Funktionen 4. GradesZeichne mit dem Script selber Graphen ganzrationaler Funktionen. Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktionen n-ten Grades
Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen Weiterlesen »
Hier findest du die Aufgaben zu Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen. Mache eine Aussage über die Symmetrieeigenschaften, den Verlauf und die Anzahl der Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Hier findest du die Lösungen und hier die Theorie dazu: Ganzrationale Funktionen n-ten Grades.
Aufgaben zu Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen Weiterlesen »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen. Mache eine Aussage über die Symmetrieeigenschaften, den Verlauf und die Anzahl der Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Hier findest du die Aufgaben. Außerdem hier die Theorie dazu: Ganzrationale Funktionen n-ten Grades Hier findest
Lösungen zu den Aufgaben zu Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen Weiterlesen »
Bevor ich erkläre, wie man Extrempunkte in der Differentialrechnung berechnen kann, muss ich einige Begriffe definieren: Hochpunkt, relatives (lokales) Maximum , Tiefpunkt und relatives (lokales) Minimum. Danach zeige ich, wie man die Extrempunkte des Graphen einer Funktion findet. Dann zeige ich den Nachweis für Extrempunkte über Vorzeichenwechsel von f'(x) und mit Hilfe der zweiten Ableitung
Extrempunkte berechnen in der Differentialrechnung Weiterlesen »
Hier findest du Aufgaben zu Extrempunkten bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades. Untersuche die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimme gegebenenfalls die Extrempunkte. Dazu kannst dir diese beiden Videos ansehen: 📽️ Video Extrempunkte in der Differentialrechnung und 📽️ Video Extrempunkte hinreichende Bedingung. Dazu findest du hier die Lösungen. Und hier die Theorie: Extrempunkte berechnen Hier
Aufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades Weiterlesen »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Extrempunkten bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades. Untersuche jeweils die ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimme gegebenenfalls die Extrempunkte. Zeichne die Graphen der Funktion und deren beider Ableitungen in ein Koordinatensystem. Dazu kannst dir diese beiden Videos ansehen: 📽️ Video Extrempunkte in der Differentialrechnung und 📽️ Video Extrempunkte hinreichende
Hier findest du die Lösungen der Aufgabe zur Differentialrechnung IX, dabei geht es unter anderem darum, Kurvenpunkte zu berechnen. 1. a) Dazu kannst du die das 📽️ Video Extrempunkte in der Differentialrechnug ansehen. Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei Extrempunkte. 1. b) Die Ableitung f'(x)
Lösungen der Aufgabe zur Differentialrechnung IX mit komplettem Lösungsweg Weiterlesen »
Hier findest du Aufgabe zur Differentialrechnung. Dabei geht es unter anderem darum, Kurvenpunkte zu berechnen. 1. Berechne die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente. Dazu kannst du die das 📽️ Video Extrempunkte in der Differentialrechnug ansehen. Sind diese Kurvenpunkte Extrempunkte? Begründe deine Entscheidung. a) b) c) 2. Berechne die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x)! Dazu
Aufgaben zur Differentialrechnung IX Weiterlesen »
Im letzten Beitrag hatten wir uns mit Extrempunkten in der Differentialrechnung beschäftigt. Diese brauchen wir um Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente zu berechnen. Zuerst erkläre ich anhand von Beispielen aus der Praxis diese Begriffe. Damit es leicht verständlich ist, stelle ich zuerst Wendepunkte beim Radfahren vor, danach Wendepunkte in der Mathematik. Danach zeige ich die Berechnung
Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente berechnen Weiterlesen »
Bei diesen Lösungen der Aufgaben geht es darum ganzrationale Funktionen auf Wendestellen zu untersuchen und gegebenenfalls die Wendepunkte zu bestimmen. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. Die Graphen: 4. Die Graphen: 5. Die Graphen: 6. Die Graphen: 7. Die Graphen: 8. Die Graphen: 9. Die Graphen: 10. Die Graphen: Hier findest du
Bei diesen Aufgaben geht es darum, ganzrationale Funktionen auf Wendestellen zu untersuchen und gegebenenfalls die Wendepunkte zu bestimmen. Die Lösungen findest du weiter unten. Aufgaben: Untersuche auf Wendestellen und bestimme gegebenenfalls die Wendepunkte Dazu kannst du dir das 📽️Video Wendepunkte ansehen. 1. Lösung 2. Lösung 3. Lösung 4. Lösung 5. Lösung 6. Lösung 7. Lösung
Aufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen Weiterlesen »
In diesem Beitrag werde ich zuerst erklären, was wir in der Differentialrechnung unter Monotonie verstehen. Danach stelle ich den Monotoniesatz vor und zeige anhand von anschaulichen Beispielen, wie man den Monotoniebereich bestimmt. Monotonie, Monotoniesatz Die lineare Funktion f(x) = a1x + a0 ist die einfachste Funktion, deren Graph keinerlei Krümmung aufweist. Verantwortlich dafür ist der
Monotoniesatz in der Differentialrechnung Weiterlesen »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VII aus der Praxis, insbesondere Kostenrechnung. Dazu kannst du dir das 📽️ Video Kostenfunktion aufstellen ansehen. Die Gesamtkosten eines Betriebes werden bei einer maximalen Ausbringungsmenge von 10 Mengeneinheiten (ME) beschrieben durch K(x). Der Verkaufspreis pro ME beträgt 28 GE. K(x) = x3 – 12 x2 +
Lösungen zur Differentialrechnung VII aus der Praxis Weiterlesen »
Hier findest du Aufgaben zur Differentialrechnung VIII aus der Praxis. Darin geht es insbesondere um die Kostenrechnung. Dazu kannst du dir das 📽️ Video Kostenfunktion aufstellen ansehen. 1. Die Gesamtkosten eines Betriebes werden bei einer maximalen Ausbringungsmenge von 10 Mengeneinheiten (ME) beschrieben durch K(x). Der Verkaufspreis pro ME beträgt 28 GE. K(x) = x3 –
Aufgaben zur Differentialrechnung VIII aus der Praxis Weiterlesen »
Nachdem wir die Theorie der Differentialrechnung in mehreren Beiträgen kennengelernt haben, stelle ich hier anhand von Beispielen die Anwendungen in Betriebswirtschaft und Naturwisschenschaft. Zuerst die Betriebswirtschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung. Dazu muss ich die Begriffe Kostenfunktion, Differentialkosten und Grenzkosten erläutern. Danach stelle ich die Naturwissenschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung vor. Anwenungen der Differentialrechnung in der Betriebswirtschaft Anwenungen
Differentialrechnung in Betriebswirtschaft und Naturwisschenschaft Weiterlesen »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI mit komplettem Lösungsweg, dabei sollst du unter anderem die Tangente berechnen. 1.a) 1. b) 1. c) Eine waagerechte Tangente an f(x) liegt in den Punkten vor, wo die Steigung Null ist. 1. d) 1. e) 1. f) Die Gerade, die f(x) in N ( 3
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI mit komplettem Lösungsweg Weiterlesen »
Hier findest du Aufgaben zur Differentialrechnung, dabei sollst du unter anderem die Tangente berechnen. 1. Gegeben ist die Funktion: a) An welchen Stellen hat f(x) die Steigung 2? b) Gib ohne Rechnung eine weitere Stelle mit der gleichen Steigung an. Begründen Sie Ihre Vermutung. c) In welchen Punkten hat f(x) eine waagerechte Tangente? Gib die
Aufgaben zur Differentialrechnung Tangente Weiterlesen »
Wie wir bereits in dem Beitrag Steigung und Tangente gesehen haben, ist die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P ( x0 | f (x0) ) gleichbedeutend mit der Tangentensteigung in diesem Punkt. Deshalb werde ich in diesem Beitrag zeigen, wie wir Tangente und Normale berechnen, mit anderen Worten: Wie man eine Tangentengleichung bestimmt. Als
Tangente, Normale berechnen Weiterlesen »