Hier findest du alle unsere Beiträge zur Mathematik. Von Aufgaben über Lösungen bis hin zu verständlichen Erklärungen findest du hier alles, was du zur Vorbereitung auf Prüfungen brauchst.
Hier findest du Statistik Aufgaben zu Diagrammen. 1. Aufgabe: Die 4 Diagramme zur Entwicklung der Studentenzahlen der Medizin in der Schweiz beruhen alle auf den Werten der gleichen Häufigkeitstabelle. A B C D a) Versuche, aus den Diagrammen die Studentenzahlen für die Jahre 1988, 1994 und 1997 abzulesen. Wie viel % beträgt der Anstieg von […]
Aufgaben zu Daten und Diagramme VI Read More »
Hier findest du die Lösungen zu Statistik Aufgaben zu Diagrammen. 1. Ergebnisse: a) Aus Diagramm B lassen sich folgende Studentenzahlen ablesen: b) Die Studentenzahlen steigen bis 1997 an, danach gehen diese zurück. Die Diagramme A und B enthalten nur Daten bis 1997, also steigende Zahlen, das Diagramm D enthält nur Daten ab 1997, also fallende
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Hier findest du die Aufgaben zu Daten und Diagramme V, darin geht es unter anderem um das Histogramm. 1. Aufgabe Das Histogramm *) beschreibt die Verteilung der Beschäftigten eines Industriezweiges nach ihrem Monatsverdienst. Erstelle die zugehörige Häufigkeitstabelle. *) Strenggenommen handelt es sich bei der graphischen Darstellung um kein Histogramm. Beim Histogramm wird die Säulenhöhe bestimmt
Aufgaben zu Daten und Diagramme V Read More »
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zu Daten und Diagramme V. Darin geht es unter anderem um das Histogramm. 1. Ergebnis: 2. Ergebnisse: a) Kleinere Parteien unter 5% fallen weg, es verbleiben als Summe der Prozentanteile 93% b) 7,4% von 598 ist 44; Die FDP hätte 44 Sitze bekommen müssen, aber da nur
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Hier findest du die Aufgaben zu Daten und Diagramme IV, darin geht es unter anderem um Liniendiagramm. 1. Die beiden Diagramme zeigen einen einstündigen Ausschnitt des Geschwindigkeitsverlaufs einer mehrstündigen LKW-Fahrt. a) Welches der beiden Diagramme eignet sich am besten, die folgenden Fragen zu beantworten? Wie groß war die höchste Geschwindigkeit, wie groß die geringste? Zu
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Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zu Daten und Diagramme IV, darin geht es unter anderem um Liniendiagramm. 1. Ergebnisse: a) Zur Beantwortung der gestellten Fragen eignet sich am besten das Liniendiagramm. Höchste Geschwindigkeit: 104 km/h, gemessen nach 27 Minuten. Geringste Geschwindigkeit: 40 km/h gemessen zu Beginn der Messungen. 80 km/h nach: 8,
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Hier findest du die Aufgaben zu Daten und Diagramme III, diesmal geht es unter anderem um Häufigkeitstabellen. 1. Schülerbefragung Erstellen Sie aus der unten stehenden Urliste zur Schülerbefragung eine klassierte Häufigkeitstabelle (absolute und relative Häufigkeiten) für das Merkmal Körpergröße! Zeichnen Sie das zugehörige Säulendiagramm und ein Kreisdiagramm für die relativen Häufigkeiten! Bestimme die Anteile der
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Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Daten und Diagramme III., desmal geht es unter anderem um Urlisten und Häufigkeitstabellen. 1. Ergebnisse: Klassierte Häufigkeitstabelle: Säulendiagramm: Kreisdiagramm: Anteil der Schüler/innen, die nicht größer sind als 180 cm: Anteil der Schüler/innen, die nicht größer sind als 165 cm: Häufigkeitstabelle nach Geschlecht geordnet: Männlich Weiblich Hier findest
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Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Daten und Diagramme II, diesmal geht es unter anderem um Säulendiagramme. 1. Ergebnisse: a) Häufigkeitstabelle für A: Häufigkeitstabelle für B: Häufigkeitstabelle für C: b) Hilfreiche Eigenschaften: Gitterlinien, aussagekräftige Beschriftung der Achsen. Abgestufte Einteilung auf den Achsen mit Benennung. Angabe von Häufigkeiten an den einzelnen Säulen. Störende Eigenschaften:
Lösungen zu Daten und Diagramme II Read More »
Hier findest du weiter Aufgaben zu Daten und Diagrammen, diesmal geht es unter anderem um Aufgaben Säulendiagramme. 1. Veröffentlichung In einer Veröffentlichung sind folgende Säulendiagramme und Kreisdiagramm zu sehen: A B C D a) Erstelle zu den Diagrammen A, B und C jeweils eine Häufigkeitstabelle mit allen dargestellten Werten. Zeichnen Sie für die Häufigkeitsverteilung von
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Hier findest du Aufgaben zu Daten und Diagrammen I. 1. Körpergröße Die Häufigkeitstabelle zeigt die klassierte Verteilung der Schüler der Oberstufe nach ihrer Körpergröße. Stelle die Verteilung grafisch dar. a) Als Säulendiagramm mit gleicher Säulenbreite. b) Als Histogramm mit unterschiedlicher Säulenbreite. 2. Klassensprecherwahl Bei der Klassensprecherwahl ergab sich nebenstehende Stimmverteilung: Verdeutliche das Wahlergebnis in einem
Aufgaben zu Daten und Diagramme I Read More »
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zu Daten und Diagrammen. 1. Ergebnisse: a) b) Histogramm mit unterschiedlicher Säulenbreite 2. Ergebnis: 3. Ergebnisse: a) Die Stichprobe besteht aus 20 Familien. Das Merkmal Kinderzahl wurde untersucht. Die Merkmalsausprägungen sind 0; 1; 2; 3; 4. b) Häufigkeitstabelle: c) 4. Ergebnisse: a) Häufigkeitstabelle: b) 5. Ergebnis: 6. Ergebnisse:
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Hier stelle ich Aufgaben zu Zufallsexperimenten zur Verfügung. 1. Was verstehest du unter einem Zufallsexperiment? Nennen Sie die wichtigsten Eigenschaften. 2. Gib vier Zufallsexperimente mit ihrer jeweiligen Ergebnismenge an. 3. In einer Obstkiste befinden sich 10 rote Tomaten und 20 gelbe Tomaten gleicher Größe und gleicher Form. Aus der Kiste werden blind nacheinander drei Tomaten
Aufgaben zu Zufallsexperimenten, Baumdiagramm, Ergebnismenge I Read More »
Hier sind die Lösungen der Aufgaben zu Zufallsexperiment I. 1. Was verstehest du unter einem Zufallsexperiment? Nenne die wichtigsten Eigenschaften Ausführliche Lösung: Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit folgenden Eigenschaften: – Unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar. – Es gibt mindestens zwei mögliche Ergebnisse. – Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar. 2. Gib vier Zufallsexperimente mit
Hier stelle ich eine Übersicht über Standardmengen und mathematische Zeichen zur Verfügung. Standardmengen ℕ = {0; 1; 2; 3; …} Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0 ℕ* = {0; 1; 2; 3; …} Menge der natürlichen Zahlen ohne 0, d.h. der positiven ganzen Zahlen ℤ = {… -2; -1; 0; 1; 2;…} Menge der ganzen
Tabelle Standardmengen und mathematische Zeichen Read More »
Durch Verknüpfungen von Mengen lassen sich andere Mengen bilden, die zu ihren Ausgangsmengen in bestimmten Beziehungen stehen. Dies ist in der Mathematik von Bedeutung, um Schreibweisen zu vereinfachen und das Erkennen von Strukturen zu erleichtern. Die wichtigsten Verknüpfungen sind Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Restmenge und Produktmenge. Definition Schnittmenge Eine der häufigsten Verknüpfungen von Mengen ist die Schnittmenge.
Verknüpfung von Mengen Read More »
In diesem Beitrag gebe ich einen Überblick über die Zahlenmengen. Zuerst die Geschichte der Zahlenmengen, danach definiere ich die Begriffe Zahlenmenge, natürliche Zahl, ganze Zahl, rationale Zahl, reelle Zahl. Zuletzt zeige ich Intervalle als Teilmengen der reellen Zahlen. Geschichte der Zahlenmengen In der Mathematik definiert man die Rechenoperationen mit Hilfe von Zahlen. Anfangs brauchten die
Übersicht über die Zahlenmengen Read More »
Im letzten Beitrag hatte ich die wichtigen Begriffe der Mengenlehre definiert, die Schreibweise und die Darstellungsform vorgestellt. Hier werde ich mich nur mit den Eigenschaften von Mengen beschäftigen. Zuerst stelle ich Kriterien für die Beschreibung von Mengen vor. Danach definiere ich die Begriffe Grundmenge, Obermenge, Teilmenge, Äquivalenz, Mengengleichheit anhand vieler Beispiele. Zuletzt stelle ich den
Eigenschaften von Mengen Read More »
In diesem Beitrag gebe ich eine Einführung in die Mengenlehre. Zuerst definiere ich die wichtigen Begriffe: Mathematische Definition der Menge, Elemente, Objekte, leere Menge. Danach stelle ich die Darstellung von Mengen, die Mengenschreibweise in beschreibender Form und die Darstellung einer Menge im Mengendiagramm vor. Anschließend verdeutliche ich dies anhand von Beispielen. Mathematische Definition der Menge:
Mengenbegriff in der Mengenlehre Read More »
In diesem Beitrag stelle ich ein Übersicht der Verknüpfung von Aussagen in der Mathematik zusammen: Konjunktion (und), Disjunktion (oder), Implikation (wenn … dann), Äquivalenz (genau wenn … dann), Negation (nicht). Außerdem stelle ich viele Beispielen und Übungen zur Verfügung. Zuletzt fasse ich alles übersichtlich zusammen. Konjunktion „Und“-Verknüpfung (Konjunktion) Werden Aussagen miteinander verknüpft, so entstehen zusammengesetzte
Verknüpfung von Aussagen in der Mathematik Read More »
In diesem Beitrag fasse ich noch einmal alle Rechengesetze für Vektoren zusammen. Vektorregeln für die Addition und Subtraktion Man addiert Vektoren, bzw. subtrahiert sie, indem man die einander entsprechenden Komponenten addiert bzw. subtrahiert, ausführlicher hier. Beispiel Vektorregeln Addition, Subtraktion: Gegeben sind die drei Vektoren: Vektorregel für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Bei der
Rechengesetze für Vektoren in der Koordinatendarstellung Read More »
In diesem Beitrag geht es zuerst um den Betrag eines Vektors. Danach um die Berechnung des Richtungskosinus. Betrag eines Vektors berechnen Diesmal soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. Wenn wir die obige Darstellung betrachten, erkennen wir, dass der Vektor die gerichtete Raumdiagonale eines Quaders ist, dessen
Betrag und Richtungskosinus von Vektoren Read More »
Bei bisherigen Rechnungen spielte lediglich die Anordnung der beteiligten Vektoren zueinander eine Rolle. Die räumliche Lage der Vektoren war dabei unwesentlich. Das lässt die Schlussfolgerung zu, dass die Vektorrechnung unabhängig von einem Koordinatensystem ist. Für bestimmte Probleme ist es dennoch nützlich, wenn man für die Darstellung der Vektoren ein Koordinatensystem zugrunde legt. Deshalb geht es
Die Komponentendarstellung von Vektoren Read More »
In diesem Beitrag definiere ich zuerst das vektorielle Produkt. Danach erkläre ich, was aus dieser Definition folgt. Danach stelle ich die Rechengesetze dazu vor. Zuletzt zeige ich dies an einigen Beispielen. Definition: vektorielle Produkt Wenn wir einen Vektor mit einer Zahl multipliziert, erhalten wir wieder einen Vektor. Diese Art der Multiplikation nennt man S-Multiplikation. Wenn
Das vektorielle Produkt Read More »
In diesem Beitrag definiere ich zuerst das skalare Produkt. Dann erkläre die Rechengesetze dazu. Danach stelle ich Beispiele und Zeichnungen dazu zur Verfügung. Zuletzt definiere ich den euklidischer Vektorraum. Definition: das skalare Produkt Es wird auch Skalarprodukt genannt. Die Definition der Arbeit im physikalischen Sinne ist eine Verknüpfung zwischen zwei Vektoren, deren Ergebnis eine reelle
Das skalare Produkt Read More »
In diesem Beitrag erkläre ich zuerst die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl und definiere die S-Multiplikation. Danach definiere ich parallele Vektoren und Einheitsvektoren und erläutere es anhand von Beispielen und Zeichnungen. Zuletzt definiere ich den Vektorraum und erkläre die Gesetzte im Vektorraum. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl Wie wir in den Grundlagen der
S-Multiplikation und Einheitsvektoren Read More »
In diesem Beitrag gebe ich eine Einführung in die Vektorrechnung. Zuerst definiere ich die Begriffe Skalar, freier Vektor, liniengebundener Vektor und ortsgebundener Vektor. Danach erkläre ich die Addition und Subtraktion von Vektoren. Anschließend zeige ich anhand einiger Anwendungsbeispiele, wie man zeichnerisch Vektoren addiert. Zuletzt zeige ich, wie man den Kosinus- und Sinussatz als Hilfsmittel für
Einführung in die Vektorrechnung Read More »
In diesem Beitrag erkläre ich, welche Dreiecksarten es gibt. Dazu zeige viele Beispiele. Definition Dreieck Ein Dreieck hat die Seiten a, b, c und die Winkel Die drei Seiten schneiden sich in drei Ecken A, B, C. Gegenüberliegende Seiten und Ecken werden mit gleichen Buchstaben bezeichnet. Die Bezeichnung erfolgt entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn. Klassifizierung der Dreiecksarten
In diesem Beitrag erkläre ich zuerst, wie Winkel entstehen, dann gebe ich eine kurze Übersicht über die Definition aller Winkelarten. Anschauliche Zeichnungen ergänzen jede Winkelart. Winkelentstehung Wenn wir einen Strahl um einen festen Punkt dreht, so entsteht ein Winkel. Dabei bildet der gedrehte Strahl die Schenkel und der Scheitel bildet den Ausgangspunkt des gedrehten Strahls. Winkel
Übersicht über Winkelarten Read More »
Hier findest du eine umfangreiche Formelsammlung der Analysis: Von den binomischen Formeln, Potenzgesetzen, Logartithmusgesetzen, p-q-Formel, quadratische Funktionen bis zur Integralrechnung, mit vielen Beispielen. Binomische Formeln Binomische Formeln Beispiel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2
Formelsammlung zur Analysis mit Beispielen Read More »
Hier findest du eine Integraltabelle mit Logarithmusfunktionen. Dazu unbestimmte und bestimmte Integrale. Integraltabelle mit einigen unbestimmten Integralen 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. Einigen bestimmte Integrale 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
Integraltabelle Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen Read More »
Zuerst zeige ich anhand eines anschaulichen Beispiels, dass man das Produkt zweier Funktionen oft nicht integrieren kann. Danach zeige ich eine Möglichkeit, das Produkt zweier Funktionen mittels Produktregel zu integrieren. Zuletzt stelle ich dazu mehrere Beispiele zur Verfügung. Wenn man das Produkt zweier Funktionen integriert will, so versagen in den meisten Fällen die bisher bekannten
Integration von Produkten zweier Funktionen Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zur Integration durch Substitution. 1. Ausführliche Lösung: 2. Ausführliche Lösung: 3. Ausführliche Lösung: 4. Ausführliche Lösung: 5. Ausführliche Lösung: 6. Ausführliche Lösung: 7. Ausführliche Lösung: 8. Ausführliche Lösung: 9. Ausführliche Lösung: 10. Ausführliche Lösung: Hier findest du die Aufgaben und Theorie hierzu. Hier findest du eine Übersicht über
Lösungen zur Integration durch Substitution mit komplettem Lösungsweg Read More »
In diesem Beitrag erkläre ich anhand anschaulicher Beispiele die Lösung unbestimmter Integrale durch Substitution. Zuletzt stelle ich Aufgaben dazu zur Verfügung. Wenn du auf einen der Links hier klickst, gelangst du sofort zu dem entsprechenden Kapitel: Beispiel Anwendung der Grundintegrale nicht möglich Beispiele Integration mit Substitution Lösung bestimmter Integrale durch Substitution mit Beispielen Trainingsaufgaben: Integration durch
Lösung unbestimmter Integrale durch Substitution Read More »
Zuerst definiere ich den Begriff der Stetigkeit bei Funktionen und veranschauliche sie anhand einiger Beispiele. Danach stelle ich Beispiele für differenzierbarer Funktionen vor. Zuletzt erkläre ich die mathematische Definition der Differenzierbarkeit und die Mathematische Definition der Differenzierbarkeit. Stetigkeit Definition Differenzierbarkeit Beispiel stetig und differenzierbar Beispiele für stetig, aber nicht differenzierbar Mathematische Definitionen Links zu Aufgaben
Stetig, Differenzierbar, Integrierbar Read More »
Hier findet ihr eine Übersicht über Differentationsregeln und Integrationsregeln. Ableitung und Aufleitung elementarer Funktionen Gegenüberstellung von Differentationsregeln und Integrationsregeln Weitere Regeln für die Differentialrechnung Aufgaben zu Integrationsregeln Weitere Regeln für die Integralrechnung Aufgaben: Ableiten und integrieren mit e-Funktionen Links zu weiteren Aufgaben Ableitung und Aufleitung elementarer Funktionen Funktion Ableitung Stammfunktion Gegenüberstellung von Differentationsregeln und Integrationsregeln
Integrationsregeln und Differentationsregeln Read More »
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben mit Differentationsregeln und Integrationsregeln mit komplettem Lösungsweg. Teil 1 1. Ausführliche Lösung: 2. Ausführliche Lösung: 3. Ausführliche Lösung: 4. Ausführliche Lösung: 5. Ausführliche Lösung: 6. Ausführliche Lösung: 7. Ausführliche Lösung: 8. Ausführliche Lösung: 9. Ausführliche Lösung: 10. Ausführliche Lösung: Teil 2 1. Ausführliche Lösung: Die Ableitung erfolgt
Lösungen zu Differentationsregeln und Integrationsregeln mit komplettem Lösungsweg Read More »
Wie wir in vorherigen Beiträgen gesehen haben, wird die Integralrechnung meist eingesetzt, um Flächen zwischen Graphen bzw. der x-Achse zu berechnen. Es gibt jedoch auch Integrale, die eigentlich nicht zur Flächenberechnung benutzt werden können, denn sie sind in einer Richtung unendlich. Mit anderen Worten: Ihre Grenzen sind nicht definiert, sie haben einen unbeschränkten Integrationsbereich. Deshalb
Uneigentliche Integrale Read More »
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben Integration der e-Funktion mit komplettem Lösungsweg. 1. Ausführliche Lösung: 2. Ausführliche Lösung: 3. Ausführliche Lösung: 4. Ausführliche Lösung: 5. Ausführliche Lösung: 6. Ausführliche Lösung: 7. Ausführliche Lösung: 8. Ausführliche Lösung: 9. Ausführliche Lösung: 10. Ausführliche Lösung: Hier findest du die Theorie und Aufgaben hierzu. Und hier
Lösungen zu Integration der e-Funktion mit komplettem Lösungsweg Read More »
In diesem Beitrag beschäftige ich mich mit der Integration der e-Funktion. Dazu zeige ich den Zusammen zwischen Stammfunktion und Integrandenfunktion. Dann stelle ich das allgemeine und das bestimmte Integral mit Substitution vor. Am Schluss stelle ich Aufgaben zur Verfügung. Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Integrandenfunktion Beispiel Allgemeines Integral mit Substitution Bestimmtes Integral mit Substitution Trainingsaufgaben zum Integrieren
Integration e-Funktion Read More »
