Hier findest du alle Beiträge zum Thema Ganzrationale Funktionen. Von einfachen Erklärungen, über Aufgaben bis hin zu ausführlichen Lösungen findest du hier alles, was du über Ganzrationale Funktionen wissen musst.
Hier findest du die Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen II, darin geht es um Symmetrie und Verlauf. + 1. Untersuche Untersuche, ob f(x) eine ganzrationale Funktion ist! Gib ggf. den Grad der Funktion und den Wert der Koeffizienten a0; a1; a2; … an! a) f(x) = 2 b) f(x) = 4x c) f(x) = 2x d) […]
Aufgaben Ganzrationale Funktionen II Symmetrie und Verlauf Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben Ganzrationale Funktionen zur Symmetrie und Verlauf der Funktionen. 1. Untersuche, ob f(x) eine ganzrationale Funktion ist! Gib gegenenfalls den Grad der Funktion und den Wert der Koeffizienten a0; a1; a2; … an! Ergebnisse: a) f(x) = 2 n = 0; a0 = 2 b) f(x) = 4x n
Lösungen ganzrationale Funktionen Symmetrie und Verlauf Read More »
Hier findest du die Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen 3. Grades mittels 4 Punkte. Im zweiten Teil gebe ich an, ob die Funktion achsen- oder punktsymmetrisch ist oder ich gebe Nullstellen an. Teil I: Gegeben sind 4 Punkte. Finde die Funktionsgleichung und zeichne danach den Graphen. Berechne außerdem die Achsenschnittpunkte und fehlende Werte mit dem Horner-Schema!
Aufgaben zu Ganzrationalen Funktionen 3. Grades mittels 4 Punkte Read More »
Hier findest du die Aufgaben zu lineare Funktionen V, darin geht es darum, ob drei Geraden durch einen Punkt verlaufen. 1. Prüfe ob die Geraden g, h, i durch einen Punkt verlaufen! a) g(x) = x + 1 h: 2y + x + 4 = 0 i: 3y – 5x = 7 b) 2. Wertetabelle
Aufgaben Lineare Funktionen Teil V Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu linearen Funktionen V, es geht um die Schnittpunkte der Geraden. 1. Prüfe ob die Geraden g, h, i durch einen Punkt verlaufen! Ausführliche Lösungen: a) b) Die drei Geraden haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt. 2. Gegeben ist eine Wertetabelle für zwei lineare Funktionen f(x) und g(x). Wo schneiden
Lösungen Lineare Funktionen Teil V mit komplettem Lösungsweg Read More »
Hier findest du die Aufgaben zu Potenzen und Polynomdivision. 1. Berechne die folgenden Terme mit Hilfe der Polynomdivision! Dazu könnt ihr euch das 📽️Video Polynomdivision ansehen. a) b) c) 2. Berechne die folgenden Terme! a) b) c) 3. Berechne die folgenden Terme! a) b) c) 4. Berechne die folgenden Terme! a) b) c) 5. Berechne
Aufgaben zu Potenzen VII mit Polynomdivision Read More »
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zu Potenzen und Polynomdivision. Dazu könnt ihr euch das 📽️Video Polynomdivision ansehen. 1. Berechne die folgenden Terme! Ausführliche Lösungen a) b) c) 2. Berechne die folgenden Terme! Ausführliche Lösungen a) b) c) 3. Berechne die folgenden Terme! Ausführliche Lösungen a) b)
Lösungen zu Potenzen VII und Polynomdivision mit komplettem Lösungsweg Read More »
Hier findest du eine umfangreiche Formelsammlung der Analysis: Von den binomischen Formeln, Potenzgesetzen, Logartithmusgesetzen, p-q-Formel, quadratische Funktionen bis zur Integralrechnung, mit vielen Beispielen. Binomische Formeln Binomische Formeln Beispiel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2
Formelsammlung zur Analysis mit Beispielen Read More »
In diesem Beitrag zeige ich zuerst, wie man mit den grafikfähigen Taschenrechnern Casio fx-CG20 und Casio fx-CG 50 Extrempunkte bestimmt. Danach erkläre ich an einem Beispiel das Zeichnen der Ableitungen f‘(x) und f‘‘(x). Danach zeige ich, wie man Wendepunkte berechnet. Zuletzt erkläre ich das Berechnen von Tangente und Normale. Casio fx-CG20 auf Casio fx-CG50 updaten
Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 Extrempunkte, Wendepunkte, Tangente und Normale Read More »
In diesem Beitrag findest du eine Übersicht aller Formeln zu ganzrationalen Funktionen. Dabei berücksichtige ich Symmetrien, Achsenschnittpunkte, Nullstellenberechnung, interaktive Hilfsmittel und viele Beispiele. Dazu führe ich Definitionen, Formeln und Vorgehensweisen an. Außerdem gebe ich viele Beispiele. Definition ganzrationale Funktion Verlauf des Graphen einer ganzrationale Funktion Symmetrien Achsenschnittpunkte Verfahren zur Nullstellenberechnung Faktorisierungsverfahren Substitutionsverfahren Polynomdivision Graphen zeichnen
Übersicht aller Formeln zu ganzrationalen Funktionen Read More »
Hier findest du die ausführlichen Lösungen der Aufgaben zum Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen. Z. B. zu ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte. Teil I: Ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte. Finde jeweils die Funktionsgleichung und zeichne den Graphen! Berechne die Achsenschnittpunkte und fehlende Werte mit dem Hornerschema! Zum Horner-Schema kannst du dir das Außerdem 📽️
In diesem Beitrag erkläre ich, wie man die Funktionsgleichung einer Parabel für ganzrationale Funktionen bis zu 4. Grades durch 5 Punkte bestimmt. Mit anderen Worten: wie man ein Polynom aus Punkten bestimmen kann. Am Schluss verlinke ich Übungsaufgaben. Wiederholung: Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen, interaktiven Rechner dazu Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4
Funktionsgleichung mit bekannten Punkten bestimmen Read More »
Um den Graphen einer ganzrationalen Funktion zeichnen zu können, benötigt man eine Wertetabelle und die Achsenschnittpunkte. Deshalb zeige ich, wie man Wertetabelle mithilfe des HORNER-Schemas berechnet. Anschließend erkläre ich, wie man die Nullstelle mithilfe des Koeffizienten a0 finden kann. Zuletzt stelle ich Trainingsaufgaben zum zeichnen des Graphen zur Verfügung. Wertetabelle mithilfe des HORNER-Schemas berechnen: Dazu
Graphen ganzrationaler Funktionen zeichnen Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Graphen ganzrationaler Funktionen zeichnen mit komplettem Lösungsweg. Dabei geht es um das Horner-Schema, Achsenschnittpunkte und Wertetabellen. Dazu kannst du dir das Video 📽️ Video Horner-Schema: Funktionswerte berechnen ansehen. Training I: HORNER-Schema, Achsenschnittpunkte, Wertetabelle, Graphen Mach jweils eine Aussage über das Symmetrieverhalten. Berechnen Sie mit dem Hornerschema die
Lösungen zu Graphen ganzrationaler Funktionen zeichnen mit komplettem Lösungsweg Read More »
Im letzten Beitrag habe ich die Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen erklärt. Hier zeige ich, wie man die Nullstellen ganzrationaler Funktionen berechnet. Mit anderen Worten: Wir berechnen die Achsenschnittpunkte. Zuerst zeige ich Funktionen und deren Graphen mit einer, mehreren und keiner Nullstelle. Danach erkläre ich eine Regel für Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Dann stelle ich einen
Achsenschnittpunkte und Nullstellenberechnung ganzrationaler Funktionen Read More »
Bis jetzt haben wir Funktionen kennengelernt, bei denen die Variable x in der 2. Potenz steht. Deshalb nennt man solche Funktionen quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades. Die Variable x kann allerdings in jeder Potenz auftreten. Diese Funktionen nennen wir deshalb Potenzfunktionen. Zuerst erkläre ich die Definition der Potenzfunktion. Danach stelle ich Beispiele
Potenzfunktionen und deren Eigenschaften Read More »
Nachdem wir uns intensiv mit quadratischen Funktionen beschäftigt haben, gebe ich hier eine Übersicht, wie man ökonomische Probleme mittels linearer und quadratischer Funktionen lösen kann. Zuerst stelle die Formeln für die Kostenrechnung vor. Danach zeige ich, wie man mithilfe der Erlösfunktions-Formel das Erlösmaximum und die Erlösschwelle errechnet. Anschließend zeige ich, wie man mithilfe der Gewinnfunktions-Formel
Ökonomische Funktionen Übersicht Read More »
In diesem Beitrag stelle ich eine Formelsammlung Quadratische Funktionen zur Verfügung. Wenn du mehr wissen willst, klick auf den Link zu dem jeweiligen Beitrag. Funktionsgleichung: Die Funktionsgleichungen haben die Form: Solche Funktionen nennt man quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades. Die Graphen werden Parabeln genannt. Scheitelpunkt-Scheitelpunktform Darüber erfährst du mehr in dem Beitrag:
Formelsammlung Quadratische Funktionen Read More »
Wir haben uns bisher den Schnittpunkt von Parabel und Gerade berechnet. In diesem Beitrag erkläre ich zuerst, wie man die Funktionsgleichung der Parabel durch drei Punkte aufstellt. Danach zähle ich die Reihenfolge in der Vorgehensweise beim Aufstellen auf. Dann zeige ich das Aufstellen des Gleichungssystems und das Additionsverfahrens. Außerdem stelle ich ein interaktives Programm zur Verfügung. Danach
Funktionsgleichung Parabel durch drei Punkte Read More »
Im letzten Beitrag ging es um den Schnittpunkt von Parabel und Gerade. Zuerst erkläre ich anhand eines Beispiels, wie man den Schnittpunkt zweier Parabeln berechnet. Anschließend stelle ich Übungsaufgaben hierzu und einen interaktiven Rechner zur Verfügung. Zuletzt erläutere ich dies. Beispiel zum Schnittpunkt zweier Parabeln Diesmal wollen wir die Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen und wir
Schnittpunkt zweier Parabeln berechnen Read More »
Hier stelle ich zuerst ein Beispiel aus der Praxis für den Schnittpunkt von Parabeln und Gerade vor. Danach erkläre ich wie man die Funktionsgleichung aufstellt und die Schnittpunkte berechnet. Anhand von Trainingsaufgaben, erkläre ich anschließend die Begriffe Sekante, Tangente und Passante. Außerdem stelle ich einen interaktiven Rechner zur Verfügung. Beispiel: Ein Fußweg verläuft unterhalb einer Hochstraße
Schnittpunkt von Parabel und Gerade Read More »
Hier erkläre ich zuerst, wie man die Achsenschnittpunkte quadratischer Funktionen berechnet. Dazu stelle ich Trainingsaufgaben zur Verfügung. Außerdem einen interaktiven Parabelanalysator, einen Nullstellenfinder und einen Parabelplotter. Danach lasse ich ein paar Bemerkungen zum Betrag und zur Definitions- und Wertemenge fallen. Anschließend zeige ich anhand eines anschaulichen Beispiels die Symmetrie quadratischer Funktionen. Den Scheitelpunkt über die Nullstellen berechnen
Achsenschnittpunkte, Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen Read More »
Nullstellenbestimmung über die quadratische Ergänzung Gegeben ist die Funktionsgleichung f(x) einer Parabel (ganzrationale Funktion 2. Grades). Bestimme für folgende Parabeln die Nullstellen und die Achsenschnittpunkte. Zeichne den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunktes. Ausführliches Beispiel als Hilfestellung: Zuerst setzten wir die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion auf Null. Danach bringen wir die daraus entstehende quadratische Gleichung
Aufgaben zu Achsenschnittpunkte, p-q-Formel und Linearfaktoren Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zu Achsenschnittpunkte, p-q-Formel und Linearfaktoren. 1. Berechne die Nullstellen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung und die Achsenschnittpunkte. Zeichne den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunktes. Ergebnis: 2. Berechne die Nullstellen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung und die Achsenschnittpunkte. Zeichne den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunktes. Ergebnis:
Lösungen der Aufgaben zu Achsenschnittpunkte, p-q-Formel und Linearfaktoren Read More »
Hier gibt es die Lösungen der Aufgaben zu Formfaktor, Verschiebungen, Scheitelpunkt bei quadratischen Funktionen. In den Aufgaben 1 bis 10 sollst du Wertetabellen aufstellen, Parabeln zeichnen. Danach bei den Aufgaben 11 bis 20 Scheitelpunkte bestimmen. Im Aufgabenteil findest du Beispiele als Hilfestellung. Trainingsaufgaben 1 bis 10: Zeichne den Graphen der Parabel. Lege dazu eine Wertetabelle
Lösungen zu den Aufgaben zu Formfaktor, Verschiebungen und Scheitelpunkt Read More »
Hier gibt es Aufgaben zu Formfaktor, Verschiebungen, Scheitelpunkt bei quadratischen Funktionen. Dabei sollst du Wertetabellen aufstellen und Parabeln zeichnen. Im zweiten Teil dann Scheitelpunkte bestimmen. Zuerst stelle ich ausführliche Beispiele als Hilfe zur Verfügung. Aufgaben 1 bis 10: Wertetabelle und Parabel zeichnen Zeichne die Graphen folgender Parabeln! Lege dazu eine Wertetabelle an! Ausführliches Beispiel als
Aufgaben zu Formfaktor, Verschiebungen und Scheitelpunkt Read More »
Nachdem wir uns gründlich mit linearen Funktionen beschäftigt haben, führe ich in diesem Beitrag in quadratische Funktionen ein. Bevor es in die Theorie geht, stelle ich als erstes ein praktische Beispiel vor. Für dieses zeige ich anschließend die Funktionsgleichung, die Wertetabelle und den Graphen. Dabei wird deutlich, dass es sich um eine quadratische Funktion handelt.
Formfaktor, Verschiebungen und Scheitelpunkt Read More »
Hier stelle ich einen Lernzettel zu linearen Funktionen zusammen. Dabei zeige ich, wie man die Achsenschnittpunkte, das Steigungsdreieck einer linearen Funktion berechnet und wie man Lineare Funktionen aus gegebenen Bedingungen aufstellt. Außerdem erkläre ich die Lage zweier Geraden zueinander. Schließlich stelle ich ein interaktives Programm zu Erkennen von Geraden zur Verfügung. Allgemeine Funktionsgleichung der Geraden
Lineare Funktionen kurz erklärt Read More »
Hier findet ihr Textaufgaben zu lineare Funktionen. Nachdem ich im vorherigen Beiträgen erklärt habe, wie man die Lage zweier Geraden berechnet, zeige ich hier anhand einiger Beispiele, wie man alltägliche Probleme mittels linearer Funktionen lösen kann. Tipps zum Vorgehen beim Lösen von Textaufgaben zu linearen Funktionen Wie bei allen Textaufgaben frage dich als erstes: Textaufgabe
Textaufgaben zu linearen Funktionen Read More »
Hier findest du Aufgaben zum Schnittpunkt zweier Geraden. Zuerst sind die beiden Funktionsgleichungen bekannt. Danach eine Funktionsgleichung und ein Punkt der anderen Geraden. Dabei liegen die Geraden senkrecht zueinander. 1. Teil: Funktionsgleichungen bekannt Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden g1(x) und g2(x). Berechne den Schnittpunkt beider Geraden. Zeichne danach die Geraden in ein Koordinatensystem. Tipps
Aufgaben zu Schnittpunkt zweier Geraden Read More »
In diesem Beitrag zeige ich anhand vieler Beispiele, wie man den Schnittpunkt zweier Geraden bei Gleichungssystemen mit einer, ohne und unendlich vielen Lösungen berechnet. Anschließend beweise ich, wie die Funktionen von rechtwinklig zueinander verlaufende Geraden zusammenhängen. Zuletzt gehe ich ausführlich auf die Anwendung linearer Gleichungssysteme in der Kostenrechnung ein. Schnittpunkt der Geraden bei Gleichungssystem mit
Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen Read More »
Hier findest du die Aufgaben zu linearen Funktionen IV, diesmal geht es darum, Schnittpunkt zu bestimmen. 1. Ermittele den Funktionsterm der linearen Funktion f(x), wenn gilt: a) f(1) = 7; f(-1) = 3 b) c) 2. Zeige 3. Zeige 4. Eine Gerade durch den Punkt P ( 2,5 | 0 ) schließt mit den Koordinatenachsen
Lineare Funktionen Aufgaben IV Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben lineare Funktionen IV mit komplettem Lösungsweg. 1. Ermittele den Funktionsterm der linearen Funktion f(x), wenn gilt: a) b) c) Ausführliche Lösungen: a) b) c) 2. Zeige Lösung: 3. Zeige Lösung: 4. Eine Gerade durch P ( 2,5 | 0 ) schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
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Bei diesen Aufgaben zu linearen Funktionen sind entweder zwei Punkte vorgegeben oder ein Punkt und die Steigung, du sollst dabei jeweils die Gleichung bestimmen. 1. Bestimme die Gleichung der Geraden g! a) b) c) d) e) f) g) h) 2. Bestimme die Gleichungen 3. Eine Gerade g mit der linearen Funktion f(x) verläuft durch die
Lineare Funktionen Aufgaben III Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben Lineare Funktionen III. Bei diesen Lösungen zu den Aufgaben zu linearen Funktionen waren entweder zwei Punkte vorgegeben oder ein Punkt und die Steigung, du sollst dabei jeweils die Gleichung bestimmen. 1. Bestimme die Gleichung der Geraden g. a) b) c) d) e) f) g) h) Lösungen: a) b)
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Hier findest du die Aufgaben zu Lineare Funktionen II. Bei diesen Aufgaben zu linearen Funktionen geht es z. B. Funktionsterme in einer Abbildung zu bestimmen. 1. Wähle aus Wähle aus nebenstehenden Schaubild die Gerade aus, die parallel zu g(x) durch den Punkt P( 2 | 2 ) verläuft. Bestimme die Funktionsgleichung dieser Geraden und begründe
Lineare Funktionen Aufgaben II Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben Lineare Funktionen II mit komplettem Lösungsweg. 1. Wähle aus Wähle aus nebenstehenden Schaubild die Gerade aus, die parallel zu g(x) durch den Punkt P( 2 | 2 ) verläuft. Bestimme die Funktionsgleichung dieser Geraden und begründe deine Wahl. 2. Der Punkt 3. Liegen die Punkt 4. Bestimme die
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In diesem Beitrag erkläre ich zuerst, dass man mit dem Horner-Schema einfacher große Funktionswerte berechnen kann. Dann stelle ich das allgemeine Schema für das Horner-Schema vor. Danach werde ich anhand eines anschaulichen Beispiels erklären, wie man mithilfe des Horner-Schemas die Wertetabelle für eine ganzrationale Funktion höherer Ordnung anlegt. Denn diese braucht man, um deren Graphen
Einführung in das Horner-Schema Read More »
In diesem Beitrag führe ich in die Polynomdivision, indem ich sie mit schriftlichen Dividieren vergleiche. Anschließend erkläre ich anhand einiger Beispiele, wie man die Polynomdivision durchführt. Danach zeige, dass man statt der Polynomdivision auch das Horner-Schema einsetzen kann. Die Polynomdivision funktioniert ähnlich wie das schriftliche Dividieren. Zuerst zeige ich das Prinzip anhand eines Vergleich zwischen
Einführung in die Polynomdivision Read More »
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zum Funktionsgleichungen bestimmen. Entweder ist ein Punkt und die Steigung gegeben oder zwei Punkte. Teil 1 : Die Steigung und ein Punkt sind vorgegeben. Eine Gerade hat jeweils die Steigung a1 und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den
Lösungen der Aufgaben Funktionsgleichungen aufstellen mit komplettem Lösungsweg Read More »